2024年 苏科版 数学八年级上册期末复习压轴题特训课件

期末压轴题全攻略 考向一　构造全等三角形解题 典例1　如图①，在△ABC中，∠ACB＜60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在线段BD上（不与点B、D重合），且∠EAB＝2∠ECB.求证∶AB＋AE＝BC. 思路导引　在BC上截取BF＝BA，连接EF，证明△ABE≌△FBE，得AE＝FE， ∠EAB＝∠EFB，再根据∠EFB＝∠FEC＋∠ECB，通过等量代换得到∠ECB＝∠FEC，EF＝FC，最后通过等量代换，证明AB＋AE＝BC. 规范解答　如图②，在BC上截取BF＝BA，连接EF.∵ BD平分∠ABC， ∴ ∠ABE＝∠FBE.在△ABE和△FBE中，∵ BA＝BF，∠ABE＝∠FBE，BE＝BE， ∴ △ABE≌△FBE.∴ AE＝FE，∠EAB＝∠EFB.∵ ∠EAB＝2∠ECB， ∠EFB＝∠FEC＋∠ECB，∴ 2∠ECB＝∠FEC＋∠ECB. ∴ ∠ECB＝∠FEC. ∴ EF＝FC.∴ AE＝FC.∵ BC＝BF＋FC，∴ AB＋AE＝BC. 方法归纳 利用角平分线构造全等三角形 当条件中出现角平分线，要证明两条线段之和等于第三条线段时，可以充分利用角平分线构造全等三角形，从而使得分散的条件相对集中起来，转化到同一个三角形中或同一条直线上，进而解决问题. ⁠ 1. 阅读探索题∶ （1） 如图①，OP是∠MON的平分线，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OM、ON于B、C两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC.求证∶△AOB≌△AOC. 解∶（1） ∵ OP是∠MON的平分线，∴ ∠BOA＝∠COA. 在△AOB和△AOC中，∴ △AOB≌△AOC. （2） 请你参考以上方法，解答问题∶ 如图②，在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝40°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系，并证明. 解∶（2） BC＝AC＋AD.如图②，在BC上截取CE＝CA，连接DE. ∵ 在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝40°，∴ ∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－40°－120°＝20°.∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD＝∠BCD. 在△ACD和△ECD中，∴ △ACD≌△ECD. ∴ ∠CAD＝∠CED＝40°，AD＝ED.∵ ∠B＝20°， ∴ ∠EDB＝20°，即∠EDB＝∠B.∴ DE＝BE.∵ BC＝CE＋BE， ∴ BC＝AC＋DE.∵ AD＝DE，∴ BC＝AC＋AD. 考向二　运用等腰三角形的性质探究边角关系 典例2　（2022·兴化期中）在△ABC中，AB＝AC，过点C的直线CD与边AB平行，P是BC上一点，连接AP，过点P作∠APE＝∠BAC，PE交CD于点E，F是EC延长线上一点. （1） 如图①，当∠BAC＝90°时，求证∶ ① ∠BCA＝∠BCF. ② AP＝EP. （2） 如图②，当∠BAC是任意锐角时，线段AP与EP仍相等吗？请说明理由. 思路导引　（1） ① 根据平行线的性质、等腰直角三角形的性质即可解决问题.② 利用角平分线构造等腰直角三角形，进而利用全等三角形的性质解答.（2） 根据平行线的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质再次构造全等三角形，并利用全等三角形的性质解决问题. 规范解答　（1） ① ∵ CD∥AB，∴ ∠BAC＋∠ACF＝180°.∵ ∠BAC＝90°， ∴ ∠ACF＝90°.∵ AB＝AC，∠BAC＝90°，∴ ∠BCA＝45°. ∴ ∠BCF＝∠ACF－∠BCA＝45°.∴ ∠BCA＝∠BCF. ② 如图③，过点P作PM⊥AC，PN⊥CD，垂足分别为M、N.∵ ∠ACB＝∠BCF＝45°，PM⊥AC，PN⊥CD， ∴ PM＝PN.∵ ∠PMC＝∠PNC＝90°，∠ACB＝∠BCN＝45°，∴ △PMC与△PNC都为等腰直角三角形.∴ ∠MPC＝∠NPC＝45°，即∠MPN＝90°. ∵ ∠APE＝∠BAC＝90°，∴ ∠APE－∠MPE＝∠MPN－∠MPE，即∠APM＝∠EPN. 在△APM和△EPN中， ∴APM≌△EPN.∴ AP＝EP. （2） 线段AP与EP仍相等.理由∶如图④，过点P作PM⊥AC，PN⊥CF，垂足分别为M、N.∵ CD∥AB，∴ ∠B＝∠BCF.∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠ACB. ∴ ∠ACB＝∠BCF.∵ PM⊥AC，PN⊥CF，∴ PM＝PN.在四边形PNCM中， ∠PMC＝∠PNC＝90°，∴ ∠MPN＋∠MCN＝360°－90°－90°＝180°. ∵ ∠MCN＋∠ACE＝180°，∴ ∠ACE＝∠MPN. ∵ CD∥AB，∴ ∠BAC＝∠ACE. ∴ ∠BAC＝∠MPN.∵ ∠APE＝∠BAC，∴ ∠APE＝∠MPN.∴ ∠APE＋∠EPM＝∠MPN＋∠EPM，即∠A