专题01 “三个二次”的关系-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破（新高考）

专题01 三个“二次”的关系 【考情综述】 一元二次方程，一元二次不等式与一元二次函数简称为“三个二次”，它们是高中数学的重要内容，它们相互联系、相互渗透，组成一个特殊的知识板块，是一个完美的整体.利用数形结合、转化与化归思想解决它们之间的问题，能使抽象化的问题具体化，复杂的问题简单化，达到化生为熟，化繁为简，化难为易，从而简化求解的目的.同时也是研究包含导数、数列、二次曲线在内的许多内容的工具. 【知识梳理】 一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 x y O x1 x2 x y O x1＝x2 x y O 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2＝ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实根 一元二次 不等式解集 ax2＋bx＋c>0 (a>0) {x|x<x1或x>x2} (x1＜x2) R ax2＋bx+c<0(a>0) {x|x1<x<x2}(x1＜x2) 二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根的分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象 得出的结论 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（有两种情况） 一根在内，另一根在内， 大致图象 得出的结论 突破点一：函数与方程的交汇 例1：（1）（2024·苏州月考）已知定义在上的函数，且,若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程有三个不相等的实数根，等价于和有三个不同交点， 因为,所以的周期为2，由函数，利用周期性作出的函数图象，如图所示:   不妨设当直线过时，的值分别为与1， 由图可知，时直线与的图象有三个交点，所以时, 方程有三个不相等的实数根,同理,若k<0,可得时，方程有三个不相等的实数根,所以实数的取值范围是，故选C. （2）（2024·武汉校级质检）函数的定义域为，若函数满足：（1）在上为单调函数；（2）存在区间，使得在上的值域为，则称函数为“取半函数”.若(且）为“取半函数”，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】据题意得，方程有两个不同的解.将方程变形得：.由于，所以要使得方程有有两个不同的解，的取值范围为. （3）（2023·南京月考）已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【解析】 因为是R上的单调递增函数，所以在上单调递增， 可得，且0+4a≥1+0，即≤a<1，作出和的函数草图： 由图象可知在上有且只有一解，可得4a≤3，或，即有△，即有≤a≤或；由，解得x=1-≤-3，即x≤0时，有且只有一解．则的范围是，． 〖方法策略〗 函数与方程相交汇的题目要用函数的观点认识函数和方程，此类为题往往借助分段函数，以二次函数为载体，考查由方程的根的个数求参数的范围，结合函数图像或者运用二次函数的性质进行求解，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，二次函数与方程常见的命题探究角度有：确定方程根的个数；求参数的取值范围. 突破点二：函数与不等式的交汇 例2：（1）（高考改编题）已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若>，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．(1,2) D． 【答案】D 【解析】由已知，时，，所以，即；由幂函数、对数函数的性质可知，其在是增函数，所以，由可得，解得，，故选. （2）（2024·浙江名校联考）已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是( ) A．(3, 7) B．(9, 25) C．(13, 49) D．(9, 49) 【答案】C 【解析】因为函数y=f(x-1)的图像关于点对称，所以函数y=f(x)的图像关于点对称，即函数y=f(x)为奇函数，则f(-x)=f(x)，又因为f(x)是定义在上的增函数，且f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立，所以f(x2-6x+21)<-f(y2-8y)=f(8y-y2)恒成立，所以x2-6x+21<8y-y2，所以(x-3)2+(y-4)2<4恒成立， 设M(x,y)，则当x>3时，M表示以为圆心，2为半径的右半圆内