极速提分专训第15招 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系课件2023-2024学年北师大版九年级数学上册

第15招 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系 北师版 九年级上 九年级数学（上）极速提分专训 类型 1 证明两线段的相等关系 分 类 训 练 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC. 类型 2 证明两线段的倍分关系 分 类 训 练 2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E. 求证：AC＝2CE. 证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F. ∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F. 易证得△BDM∽△CEM， △BAM∽△CFM， ∵D为AB的中点，∴BA＝2BD. ∴CF＝2CE. ∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM. ∵∠BAM＝∠F，∴∠CAM＝∠F. ∴AC＝CF. ∴AC＝2CE. 【点技巧】 通过作辅助线证三角形相似，由三角形相似的相关性质证两线段的倍分关系． 类型 3 证明两线段平行 分 类 训 练 3．【2023·山西实验中学模拟】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上． (1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图，作出∠APD＝∠ABC，即可得到△PCD∽ △ABP. (2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC，求证：PD∥AB. 证明：∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC， ∴∠DPC＝∠ABC. ∴PD∥AB. 类型 4 证明两线段垂直 分 类 训 练 证明：∵DE∥BC， ∴∠NEO＝∠MBO，∠ENO＝∠BMO. ∴△NEO∽△MBO.∴＝. 同理可得＝，∴＝. ∴＝. ∵DE∥BC，∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM. ∴△ANE∽△AMC.∴＝. 同理可得＝，∴＝. ∴＝.∴＝. ∴MC2＝BM2. ∴BM＝MC. ∴＝，＝. ∴＝. 4．如图，已知矩形ABCD，AD＝AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G.求证：EG⊥DF. 证明：∵AD＝AB，点E，F把AB三等分， ∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k(k>0)，则AB＝CD＝3k. ∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG. ∴△CDG∽△AFG.∴＝＝. 设FG＝2m，则DG＝3m， ∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m. 在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2， ∴DF＝k.∴5m＝k.∴m＝k. ∴FG＝k. ∴＝＝，＝＝. ∴＝. 又∵∠AFD＝∠GFE，∴△AFD∽△GFE. ∴∠EGF＝∠DAF＝90°. ∴EG⊥DF. $$