2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，是的直径，C为上一点，交于E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 2．如图，在中，的平分线交于点E，在边上取一点O，以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)过点E作，垂足为H，求证：； (3)若，求的长． 3．如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长． 4．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的面积． 5．如图，为半圆的直径，点在半圆上，过点作的平行线交于点E，交过点的直线于点D，且． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 7．如图，为的直径，为的延长线上一点，作直线交于点，连接、，使得，过点作交延长线于点． (1)求证∶ 直线是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 8．如图1，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上．连接交于点，的外接圆与交于，两点．    (1)求证：是切线； (2)如图2，连接，，若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，求的长． 9．如图，是的直径，直线经过上的点，于点，交于，平分．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 10．如图，是的直径，是弦，点为的中点，交的延长线于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，若直径为，求的长． 11．已知：如图，是的直径，于点，点是上的一点，连结并延长与的延长线交于点，连结、，且．    (1)求证：是的切线； (2)若， ，求的半径的长． 12．已知： 如图，的半径为5，D是半圆弧上一动点 （不与重合），以为邻边作平行四边形． (1)如图1，当时，求证：直线是的切线； (2)如图2，当时，边与交于另一点E，求的长． 13．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，半径为4，在圆O上取点P，使，求点P到直线的距离． 14．如图，内接于，是的直径，，于点E，交于点F，交于点G，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 15．如图，是的直径，是弦，，的平分线交于点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：是等腰三角形； (3)若时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）， ， 设，， ， ， ， ， 的半径长为． 2．（1）如图，连接， ∵以为半径作，恰好经过点E且分别与边交于点D，F，连接， ∴为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线；    （2）如图，连接． ∵是的平分线，于C，于H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，    （3）∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∵， ∴ 解得：， ∴ ∴． 3．（1）∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的切线． （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵． 4．（1）解：如下图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线， （2）设， 在中， ∵，, ∴由, 可得∶, 解得∶，即， 则． 5．（1）证明：∵为半圆的直径， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴ ∴是半圆的切线； （2）解：∵， ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ∴. 6．（1）解：证明：如图，连接OD ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ 在与中 ∴(SAS) ∴ ∵AC是切线． ∴ ∴ ∵点D在上，OD为半径，且 ∴CE是的切线 （2）解：∵CE是的切线 ∴ 设半径为，在Rt中，，由勾股定理得： ∵， ∴ 解得： ∵ ∴ 设，在Rt中，，由勾股定理得： ∴ 解得： ∴CD的长为6 7．（1）证明：连接． 为的直径， ， ； ， ， 又， ， 即， ， 为半径， ∴是切线； （2）解：连接，过点作交于点． 设的半径为，则，， 是的切线，为切点， ， ； 在中，， 即， ， ∵， ∴． ， ， 在中，， ． 8．（1）解：证明：把绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ， 又， 为的直径，