2.1.1 椭圆及其标准方程（第2课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版选择性必修第一册 第二章 1.1 椭圆及其标准方程 第二课时 2023.8 高二数学备课组 高二数学 1 1．由椭圆定义，学会推导椭圆的标准方程． 2．进一步理解坐标法，感悟数形结合思想，发展数学抽象、直观想象、数学运算等素养． 椭圆的定义和标准方程． 椭圆的标准方程的推导． 教学目标 教学重点 教学难点 2 创设情境，引出新课 上节课，我们学习了椭圆的定义：平面内到两个定点的距离之和等于常数的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 椭圆的方程是怎样的呢？我们如何研究圆的方程？坐标法的一般步骤是什么呢？ 3 动手实践，探究新知 问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可以使所得的椭圆方程形式简单？ (对称、“简洁”) . . O x y . . O x y O x y O x y 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 4 动手实践，探究新知 取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 由椭圆的定义得，限制条件： 建 设 设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0),P与 F1和F2 的距离的和等于正常数2a(2a>2c),则 F1、F2 的坐标分别是(-c，0)、(c，0) 因为 所以 限 代 化 几何条件代数化 1 2 y O F F P x 5 动手实践，探究新知 移项平方法 移项，再平方 两边再平方，得 整理得 两边除以a2(a2-c2)得 (1) 等价变形 6 思考归纳，抽象概念 问题：观察右图，你能从中找出表示 的线段吗？ 令 ，则（2）式可化为： (1) b O x y F1 F2 P a c 代数量a,b,c的几何意义：直角三角形OPF2三边长。满足c2=a2-b2 7 思考归纳，抽象概念 从上述过程可以看到，椭圆上任一点的坐标都满足方程(2); 方程（2）的解对应坐标的点都在椭圆上; 则方程（2）为椭圆的标准方程. 1 2 y O F F P x 1 2 y O F F P x 非标准方程 8 思考归纳，抽象概念 它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c,0)， 中心在坐标原点的椭圆方程 ,其中c2=a2-b2 . 如果椭圆的焦点在y轴上,那么椭圆的标准方程又是怎样的呢? 02 03 01 也是椭圆的标准方程. 1 2 y O F F P x y O F2 P x F1 9 思考归纳，抽象概念 椭圆的标准方程及其图象： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 焦点 ， ， 的关系 注意:(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a． (2)椭圆的标准方程中，项和项谁的分母大，焦点就在谁的轴上． 1 2 y O F F P x y O F2 P x F1 10 典例讲解，巩固新知 例1 已知椭圆的两个焦点分别为，，并且经过点．求椭圆的标准方程． 解法一 因为椭圆的焦点在y轴上，设其方程为． 根据椭圆的定义知，，从而．又，所以．所以椭圆的标准方程为，其图形如右图． 解法一：可以用椭圆的定义来求解a，b的值． 11 典例讲解，巩固新知 例2 求证:点M(0)在椭圆上． 证明 将点M的坐标代入，得 所以点M(0)在椭圆上． 只需证明点满足椭圆方程，即点在椭圆上． 12 典例讲解，巩固新知 求下列椭圆的焦点坐标:（1）；（2）；（3）． 6，所以椭圆的焦点坐标为，． （2）椭圆的在y轴上，16，9，，所以椭圆的焦点坐标为，． （3）先将方程化为椭圆的标准方程：，则椭圆在y轴上，2，1，，所以椭圆的焦点坐标为，． 13 典例讲解，巩固新知 判断下列各点是否在椭圆上，并画出椭圆和点: (1)A()；(2)B(4，2)；(3) C(1，1)． 解 判断点是否在椭圆上只需看点坐标是否满足椭圆方程． （1）将A点坐标代入椭圆方程，， A点在椭圆上； （2）将B点坐标代入椭圆方程， ， B点不在椭圆上； （3）将C点坐标代入椭圆方程， ， C点不在椭圆上． 各点图象如右图. x 14 典例讲解，巩固新知 计算第2题中的不在椭圆上的点到两个焦点的距离之和，并比较这个和与之间的大小关系，探索点在椭圆内、外与这个数量大小关系有何联系． 解 B点：||＋||a， C点||＋||a． 可以发现：到两焦点距离之和大于2a的点在椭圆外；到两焦点距离之和小于2a的点在椭圆内． y 15 典例讲解，巩固新知 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在