解答题05解析几何（十大考点+真题模拟题练）-2024年高中数学二轮选填及解答突破训练宝典（新高考专用）

解答题05解析几何 【考点01轨迹问题】 【例1】在平面直角坐标系中，已知点，点为平面内一动点，线段的中点为，点到轴的距离等于，点的轨迹为曲线. 求曲线的方程； 【例2】在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C. 求C的方程; 【变式1-1】已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点．求点的轨迹方程； 【变式1-2】将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D． 求E的方程： 【变式1-3】在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C． 求曲线C的方程； 【考点02韦达定理基础应用】 【例3】在中，分别是内角的对边，成等差数列，且，． (1)求顶点的轨迹的方程； (2)是否存在直线，使得过点且与曲线交于不同的两点，且？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【例4】在平面直角坐标系中，已知点，，记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，，，设直线的斜率分别为． （i）若，求； （ii）证明：为定值． 【变式2-1】动圆经过定点，且与直线相切.记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，设点是线段上的动点（除端点），原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值. 【变式2-2】已知椭圆C：，，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q． (1)若的面积为，求k的值； (2)若直线与椭圆C交于M，N两点，且，求的值． 【变式2-3】已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于两点，且，求． 【考点03直线的双变量设法】 【例5】已知椭圆，直线与C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的离心率； (2)O为坐标原点，若，求直线l与原点的距离． 【例6】设，为椭圆的左、右两个焦点，为椭圆上一点，且，． (1)求的值； (2)若直线：与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线经过点，证明：为定值． 【变式3-1】已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． (1)求的值； (2)已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 【变式3-2】已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆过点，直线与椭圆相交于A，B两点．    (1)求椭圆C的方程； (2)若l不过原点且不平行于坐标轴，记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； 【变式3-3】已知点F为抛物线C：的焦点，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点. 【考点04最值问题】 【例7】已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 【例8】已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，一动圆过点且与直线相切，设该动圆的圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)设为在第一象限内的一个动点，过作曲线的切线，直线过点且与垂直，与的另外一个交点为，求的最小值． 【变式4-2】若双曲线的一个焦点是，且离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值． 【变式4-3】己知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值． 【考点05范围问题】 【例9】已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过作直线交椭圆于另一点，求的面积的取值范围. 【例10】动点满足方程． (1)求动点P的轨迹的方程； (2)设过原点的直线l与轨迹相交于两点，设，连接并分别延长交轨迹于点，记的面积分别是，求的取值范围． 【变式5-1】在椭圆中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为． (1)求的值； (2)若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围． 【变式5-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为．