2024年中考数学二轮专题复习：正方形中的十字和半角模型 讲义

2024年中考数学二轮复习——正方形中的十字和半角模型 一、正方形中的十字架模型 例1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　 ． 解：如图，连接AE，AF，EN， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF， ∴∠EAF＝90°， ∴△EAF为等腰直角三角形， ∵AN⊥EF， ∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°， ∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS）， ∴EN＝FN， 设DN＝x， ∵BE＝DF＝5，CN＝8， ∴CD＝CN+DN＝x+8， ∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3， 在Rt△ECN中，由勾股定理可得： CN2+CE2＝EN2， 即82+（x+3）2＝（x+5）2， 解得：x＝12， ∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20， ∴AN4， 解法二：可以用相似去做，△ADN与△FCE相似，设正方形边长为x， ，即， ∴x＝20． 在△ADN中，利用勾股定理可求得AN＝4． 例2．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG． （1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论． （2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长． 解：（1）BE＝DG，BE⊥DG； 理由：如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG， ∴∠GAE＝90°＝∠BAD，AG＝AE，AD＝AB，∠ADB＝45°， ∴∠GAD＝∠BAE， ∴△GAD≌△BAE， ∴BE＝DG，∠GDA＝∠ABE， ∴∠BMD＝180°﹣∠GDA﹣∠ADB﹣∠DBM＝180°﹣﹣∠EBA﹣∠DBM﹣45°＝90°， ∴BE⊥DG． 总之，BE＝DG，BE⊥DG； （2）作EH⊥AB于H， ∵正方形ABCD和正方形AEFG， ∴∠GAE＝90°＝∠BAD，∠EAF＝45°， ∴∠HAF＝45°， ∵AB＝4，， ∴AH＝EH1， ∴BH＝4﹣1＝3， ∴BE． 平行练习 1．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 　 　． （2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG． （3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度． 2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　） A．2 B． C． D． 3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED＝2α，则∠AGD的度数为（　　） A．90﹣α B．90+α C．90+2α D．90﹣2α 5．综合与实践： 如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）如图1，求证：△ABF≌△BCE； （2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG； （3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由． 二．正方形中的半角模型 例1．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，BE＝3，CF＝4，则正方形ABCD的面积为 　　． 解：如图，延长CB至点G，使 BG＝DF，并连接AG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠GAB＝∠GAE＝45°， ∴∠EAF＝∠GAE， 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴GE＝EF， 设正方形边长为x，则BG＝DF＝x﹣4，GE＝EF＝x﹣1，CE＝x﹣3， 在Rt△CEF中，（x