2024年中考数学二轮专题复习：正方形中的十字和半角模型 讲义

2024年中考数学二轮复习——正方形中的十字和半角模型

一、正方形中的十字架模型

例1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　       ．

解：如图，连接AE，AF，EN，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，

∵BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，

∴∠EAF＝90°，

∴△EAF为等腰直角三角形，

∵AN⊥EF，

∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，

∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），

∴EN＝FN，

设DN＝x，

∵BE＝DF＝5，CN＝8，

∴CD＝CN+DN＝x+8，

∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，

在Rt△ECN中，由勾股定理可得：

CN2+CE2＝EN2，

即82+（x+3）2＝（x+5）2，

解得：x＝12，

∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20，

∴AN4，

解法二：可以用相似去做，△ADN与△FCE相似，设正方形边长为x，

，即，

∴x＝20．

在△ADN中，利用勾股定理可求得AN＝4．

 

例2．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．

（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．

（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．

解：（1）BE＝DG，BE⊥DG；

理由：如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG，

∴∠GAE＝90°＝∠BAD，AG＝AE，AD＝AB，∠ADB＝45°，

∴∠GAD＝∠BAE，

∴△GAD≌△BAE，

∴BE＝DG，∠GDA＝∠ABE，

∴∠BMD＝180°﹣∠GDA﹣∠ADB﹣∠DBM＝180°﹣﹣∠EBA﹣∠DBM﹣45°＝90°，

∴BE⊥DG．

总之，BE＝DG，BE⊥DG；

（2）作EH⊥AB于H，

∵正方形ABCD和正方形AEFG，

∴∠GAE＝90°＝∠BAD，∠EAF＝45°，

∴∠HAF＝45°，

∵AB＝4，，

∴AH＝EH1，

∴BH＝4﹣1＝3，

∴BE．

 

平行练习

1．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为 　 　．

（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．

（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．

2．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（　　）

A．2 B． C． D．

3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，连接AF与BE相交于点G．若AG+BG＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（　　）

A．3 B． C．2 D．