二次函数及其运用知识点归纳2024年九年级中考数学一轮复习

二次函数及其运用 一、知识清单梳理 知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 1.二次函数的定义 形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0. 2.解析式 （1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式. 知识点二 ：二次函数的图象与性质 3.二次函数的图象和性质 图象 （1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解. 例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 . 开口 向上 向下 对称轴 x＝ 顶点坐标 增减性 当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小. 当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大. 最值 x=，y最小＝. x=，y最大＝. 3.系数a、b、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： 1 a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 3 2a+b的符号，需判断对称 轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. a、 b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 知识点三 ：二次函数的平移 4.平移与解析式的关系 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 失分点警示： 抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2． 知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式 5.二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1. 6.二次函数与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 知识点五 ：二次函数的应用 关键点拨 7、实物抛物线 知识点一：二次函数的应用 一般步骤 8、实际问题中 求最值 1 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 2 研究自变量的取值范围； 3 确定所得的函数； ④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； ⑤解决提出的实际问题. 1 据题意，结合函数图象求出函数解析式； ②确定自变量