2024年高中数学解答题专项训练：圆锥曲线的方程

2024年高考数学解答题专项训练：圆锥曲线的方程 1．已知的周长为，其中点，． （1）求点C的轨迹方程； （2）设D为点A关于直线的对称点，求线段CD的长度的取值范围． 2．已知焦点在x轴上的椭圆C：，长轴长为4，离心率为，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N． （1）求椭圆的方程； （2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 3．已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点. （1）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （2）求面积的最小值. 4．定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由． 5．如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆E截得的线段长为. （1）求椭圆E的方程； （2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 6．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． （ⅰ）当时，求证：的值及的周长均为定值； （ⅱ）当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 7．已知抛物线与双曲线有共同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 8．已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点． 9．在一张纸上有一个圆：，圆心为点，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. （1）求出点的轨迹的方程； （2）若过点且斜率为（或）的直线交曲线于，两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由 10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，若上的点满足恒成立． （1）求的方程； （2）若过点的直线与的两条渐近线交于，两点，且． ①证明：与有且仅有一个交点； ②求的取值范围． 11．已知x轴被动圆C截得的弦长为6，动圆C过定点． （1）求动圆圆心C的轨迹E的方程； （2）点M是曲线E上的动点，其纵坐标大于2，过点M作圆的两条切线分别与x轴交于点P，Q，求面积最小时点M的纵坐标． 12．如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆C1与抛物线C2的一个交点，过点A的直线l交椭圆C1于点B，交抛物线C2于点M（B、M不同于A）． （1）若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求p的值； （2）若直线l过椭圆的右焦点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程； （3）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 13．已知双曲线E：的离心率为，点在双曲线E上. （1）求E的方程； （2）过点的直线l与双曲线E交于A，B两点（异于点P）.设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点C，若线段BC的中点为N，判断：P，M，N三点是否共线？并说明理由. 14．已知抛物线与圆相交于，，，四个点． （1）当时，求四边形的面积 （2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由 （3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由题意可知，，根据椭圆定义可知，点C轨迹为椭圆， 因此，c＝1，则点C轨迹方程为，； （2）解：设点，因为点A与点D关于直线对称， 于是有解出即点， 设点为点C轨迹方程上一点，满足，， 则， 由于，因此． 2．【答案】（1）解：，，，，∴． （2）解：，，，，． ， ， ， ， ∴，，，AN：， BN：，， ， ∴． ∵ ∴ ∴为定值． 另解：设右焦点为F＇，延长FB到点T，使得． 由光学性质，BN平分∠TBF＇，易得； 同理，延长FA到点S，使得 ∵． 结合AF与BF倾斜角互补可得轴，则三点共线． 3．【答案】（1）解：由题意得，解得， 所以椭圆的方程为. 设，直线的斜率分别为， 设直线为，与椭圆联立， ， ， 代入可得，所以直线与的斜率之积为定值