2024年高中数学解答题专项训练：三角函数

2024年高考数学解答题专项训练：三角函数 1．已知函数． （1）若存在，使得成立，则求的取值范围； （2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和． 2．已知函数上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若． （1）求的解析式． （2）若对任意实数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 3．在中，角所对的边分别为. （1）求； （2）若，过作垂直于交于点为上一点，且，求的最大值. 4．在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求边上中线的长. 5．已知定义在上的函数，满足，当时，． （1）若函数的最小正周期为，求证：，为奇函数； （2）设，若，函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围． 6． 已知，且函数， （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间； （3）若函数（其中）是上的偶函数，求的值， 7．已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式及对称中心坐标： （2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围. 8．已知向量，，令函数. （1）求函数的表达式及其单调增区间； （2）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值. 9．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻两个对称轴之间距离为. （1）求函数的解析式； （2）当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由. 10．已知函数，其中. （1）当时，若，求的值； （2）记的最大值为，求的表达式并求出的最小值. 11．已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向下平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围. 12．乐音中包含着正弦函数，平时我们听到的乐音是许多个音的结合，称为复合音，复合音的产生是因为发声体在全段震动，产生基音的同时，其余各部分，如二分之一部分也在震动．某乐音的函数是，该函数我们可以看作是函数与相加，利用这两个函数的性质，我们可以探究的函数性质． （1）求出的最小正周期并写出的所有对称中心； （2）求使成立的x的取值集合； （3）判断，函数零点的个数，并说明理由． 13．已知函数，再从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知， 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象可由函数的图象平移得到； 条件③：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为. 注：如果选择条件①､条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. （1）求的解析式； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 14．已知函数． （1）若存在，，使得成立，则求的取值范围； （2）将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：. 若存在，使得成立， 则只需即可∵，∴， ∴当，即时， 有最大值1， 故. （2）解：依题意可得， 由得， 由图可知，在上有4个零点： ， 根据对称性有， 从而所有零点和为 2．【答案】（1）解：由最高点的坐标可得：， 且由题意可得：， ， 当时，， 解得：， 令可得：， ∴ 函数的解析式为：． （2）解：当时，， 则， ， 不等式在上恒成立， 即， ， 据此可得：， ， 综上可得m的取值范围是． 3．【答案】（1）解：因为， 所以， 又，所以， 因为，，所以， 又，解得， 因为，所以. （2）解： 由已知可设， 在中，则由余弦定理得， 即， 由正弦定理得，所以. 在中，由余弦定理，得， ， 当时，的长度取得最大值. 4．【答案】（1）解：因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得，又， 所以， （2）解：由可得， 所以，， 所以或， 所以或， 若，则， 又，所以， 设的中点为， 所以边上中线的长为， 若，则，为等边三角形， 因为，所以， 设的中点为， 所以边上中线的长为. 5．【答案】（1）解：当时，，所以， 又因为函数的最小正周期为，所以， 所以，故. 对于任意给定的，，因为， 所以. 对于任意给定的，，因为， 所以， 当时，. 综上所述，函数，为奇函数. （2）解：，即， 当，，于是， 当，，于是， 据此可得，当（为正整数）时，， 当（为正整数）时，， 函数在区间（为正整数）上为严格的减函数，其值域为， 函数在区间上恰有一个零点，等价于关于的方程在区间上仅有一解， 对于函数，在区间上，其函数值的取值范围是； 在区间上，其函数值的取值范围是. 由题意，关于的方程