2024年高中数学解答题专项训练：平面向量及其应用

2024年高考数学解答题专项训练：平面向量及其应用 1．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列． （1）若，求角C； （2）若的面积为S，求的取值范围． 2．在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 （1）求角C的大小； （2）若，的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值． 3．已知中，内角所对的边分别为，且. （1）若的平分线与边交于点，求的值； （2）若，点分别在边上，的周长为5，求的最小值. 4．如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为. （1）记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； （2）设，，求； （3）请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 5．如图，在矩形中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，分别是线段，上的动点，且满足．设直线与相交于点． （1）证明：点始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程； （2）设，为该椭圆上两点，关于直线的对称点为，设，且直线，的倾斜角互补，证明：为定值． 6．已知向量. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求 的最大值以及对应的的值. 7．设两个向量满足， （1）求方向的单位向量； （2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 8．如图，在平面四边形中，已知，，，． （1）若，求； （2）若，求四边形的面积． 9． 在梯形中，分别为线段，上的动点. （1）求； （2）若，求； （3）若，求的最小值； 10．如图，点分别是正方形的边、上两点，，，记点为的外心. （1）若，，，求的值； （2）若，求的取值范围； （3）若，若，求的最大值. 11．在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 三点满足. （1）求证： 三点共线，并求的值； （2）已知， ， ，且函数的最小值为，求实数的值. 12．如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）． （1）用，表示； （2）若，，求的值． 13．已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值． （1）求参数和的值； （2）若，求向量 与向量夹角的余弦值； （3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围． 14．将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且． （1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由； （2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：由题设，即，且， 由，即， 所以，即， 所以，故， 所以或（舍），可得，故. （2）解：由（1）知，为锐角三角形，则，可得， 又，则， 所以， 又，，故， 整理得，令，则， 所以，令，则， 故在上递减，，即， 所以在上递减，故. 2．【答案】（1）解： 于是. 在中，由正弦定理得， 因为，则，即 因为，因此即又 所以 （2）解：由(1)知，，有 而与的平分线交于点I，即有 于是 设，则且 在中，由正弦定理得，． 所以， 所以的周长为 ．． 由，得 则当，即时，的周长取得最大值 所以周长的最大值为 3．【答案】（1）解：可得， 解得， 设，则， 由余弦定理得， 所以. 因为为的平分线， 所以， 又，则. （2）解：因为，由（1）得， 设， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以，当时取等号， 所以， 所以，当时取等号， 所以的最小值为. 4．【答案】（1）解：， 所以，向量； （2）解：由已知，有，， ； （3）解：设，，求的斜坐标表示公式， ，， ， 或，设，，的充要条件为. 5．【答案】（1）证明：由题意，，，设，，． 直线的方程为，① 直线的方程为，② 联立①②，得， 即，整理得． 因为，所以，因此得到． 这就证明了点在椭圆上，椭圆的标准方程为． （2）解：因为，所以在椭圆上． 记．设，，则， 故． 因为直线，的倾斜角互补，所以，③ 即．④ 由，， 得，所以．⑤ 同理，由，， 得．⑥ ⑤⑥，并结合③，可得． 整理得．⑦ ④⑦，得， 故． 所以，即为定值． 6．【答案】（1）解：， ， ，. （2）解：因为， 所以， ， 所以， 所以， 由，可得，所以， 所以， 当，即时，取最大值，最大值为. 7．【答案】（1）解：由已知， 所以，所以， 即方向的单位向量为 （2）解：由已知，， 所以， 因为向量与向量的夹角为钝角， 所以，且向量不与向量反向共线， 设，则，解得， 从而，解得. 8．【答案】（1）解：在中，， ， 在中，由