1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（2课时）-第1课时 同步学习与测评 2023—2024学年湘教版数学八年级下册

第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）（2课时） 第1课时 直角三角形中两锐角互余及斜边上中线的性质 1 第1课时 直角三角形中两锐角互余及斜边上中线的性质 起航加油 2 1.直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角______. （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的______. 互余 一半 2.直角三角形的判定： 有两个角______的三角形是直角三角形. 互余 起航加油 随堂演练 课后达标 3 图1 1.[2022·贺州] 如图1，在中， ， ，则 的度数为( ) . A A. B. C. D. 2.在中， ， ，则 的形状是( ) . B A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 起航加油 随堂演练 课后达标 4 图2 3.如图2，在中，点是斜边的中点， ， 则 的长为____． 12 提示：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得 .故 . 起航加油 随堂演练 课后达标 5 第1课时 直角三角形中两锐角互余及斜边上中线的性质 随堂演练 6 知识点一 直角三角形锐角互余性质的应用 图3 例1 如图3，已知在中， ， 于点，的平分线交于点.求证： . 思路点拨 与在中，要证 ，只需证 明 .利用角平分线的性质、对顶角的性质 和直角三角形的两个锐角互余的性质进行角之间的等量代换，即可证得 结论. 起航加油 随堂演练 课后达标 7 图3 证明平分 ， . ， 是直角三角形. . ， ， 即 是直角三角形. . . 又 ， . . 起航加油 随堂演练 课后达标 8 方法指导 “直角三角形的两个锐角互余”的性质，是直角三角形中角度计算 或角度转换的常用依据，通常是题目中的隐含条件，注意灵活运用. 起航加油 随堂演练 课后达标 知识点二 直角三角形斜边上中线性质的应用 图4 例2 如图4，已知 ，， 分 别是， 的中点. 求证： . 思路点拨 起航加油 随堂演练 课后达标 10 图5 证明 如图5，连接， . ， 与 均为直角三角形. 为 的中点， ， ， 即 . 又为的中点， . 起航加油 随堂演练 课后达标 11 方法指导 当题目中已知直角三角形斜边上的中点时，一般考虑作直角三角形 斜边上的中线，并利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一 性质求解.解题时，要注意各种图形的变式，如： 起航加油 随堂演练 课后达标 12 图形一 为斜边 的中点，则 图形二 为斜边的中点，则 单一三角形 共斜边，同侧 续表 起航加油 随堂演练 课后达标 13 图形三 为斜边的中点，则 共斜边，异侧 续表 起航加油 随堂演练 课后达标 14 知识点三 直角三角形的判定 图6 例3 如图6，在中，， .求 证： 是直角三角形． 思路点拨 由，可知， 均为锐角，要证 明是直角三角形，只要证明与 互余即 可. 方法指导 要判定一个三角形是直角三角形，当已知条件中有锐角的度数或 锐角之间的关系时，可以寻找条件证明这个三角形有两个锐角互余. 起航加油 随堂演练 课后达标 15 图6 证明 ， ． ． 又， ． 是直角三角形． 起航加油 随堂演练 课后达标 16 图7 1.如图7，是的斜边 上的高，则图中 与 互余的角有( ) . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 提示：，都与 互余. 起航加油 随堂演练 课后达标 17 图8 2.[2023·株洲] 一名技术人员用刻度尺 （单位： ）测量某三角形部件的尺寸．如图8， 已知 ，为边的中点，点， 对应的刻度为1，7，则 的长为( ) . B A.3. B. C. D. 起航加油 随堂演练 课后达标 18 图9 3.如图9，，分别是的边， 上的高， 是的中点，，，则 的周长是 ____． 小锦囊 的长已知，根据直角三角形斜边上中线的性质，可求出， 的长，从而 的周长可求. 提示：由直角三角形斜边上中线的性质，得 .所以 的周长 . 13 起航加油 随堂演练 课后达标 19 图10 4.如图10，于点，点在 上，且 ，，延长交于点 .求证： 是直角三角形． 证明： ， ． . 在和 中， ． 是直角三角形． 起航加油 随堂演练 课后达标 20 第1课时 直角三角形中两锐角互余及斜边上中线的性质 课后达标 21 1.在中，已知 ， ，则 的度数为 ( ) . B A. B. C. D. 图11 2.如图11，公路，互相垂直，的中点与点 被湖隔开．测得长为，则点， 间的距离是 ___ ． 2 起航加油 随堂演练 课后达标 22 图12 3.[2022·绍兴改编] 如图1