集合 讲义-2024年高考数学一轮复习

第1讲 一轮复习之集合 学习目标 1、给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算，及与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算. 2、利用集合运算的结果，考查集合运算的结果,考查集合间的基本关系. 3、以新概念或新背景为载体,考查对新情景的应变能力. 知识结构 教学过程 一、进门测试 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】分别求解绝对值不等式和对数型不等式得到集合,再求并集即得. 【详解】由得：，即； 由可得：，解得：，即； 则. 故选：D. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【分析】求出集合或明确集合中元素的特征，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意得，被3除余数为2的整数， ， 故选：C． 二、知识梳理 集合： （1）集合的元素的性质：确定性、互异性和无序性； （2）元素与集合的关系： ①属于集合；②不属于集合． （3）常用的数集：自然数集；正整数集；整数集； 有理数集；实数集；空集；复数集； ；；． （4）集合的表示方法： 集合；例如：①列举法：；②描述法：． （5）集合之间的关系： ①（读作包含于）（读作包含）集合是集合的子集； 特别地，；． ②或集合与集合相等； ③集合是集合的真子集． 例：；． ④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 三、例题精讲 【例1】非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 【例2】下列说法正确的序号是（    ） A．偶函数的定义域为，则 B．一次函数满足，则函数的解析式为 C．若不等式的解集为或，则 D．若集合中至多有一个元素，则 【分析】利用奇偶函数的定义域关于原点对称求出a，即可判断A；利用待定系数法解函数解析式即可判断B；根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系求出a、c，即可判断C；根据元素与集合的关系，结合一元二次方程的相关知识求解，即可判断D. 【详解】A：因为函数为偶函数，所以其定义域关于原点对称， 所以，解得，故A正确； B：设，所以， 又，所以，解得或， 所以或，故B错误； C：由题意，且为方程的两个不同的根， 则，解得，所以，故C正确； D：若集合A有1个元素，当时，，符合题意； 当时，方程有两个相同的根，则， 此时，符合题意； 若集合A有0个元素，则，即方程无实根， 则，综上，实数的取值范围为或.故D错误. 故选：AC 【例3】已知集合，且，则 ． 【分析】根据集合自己的概念即可求解． 【详解】∵，且， ∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到， ∴a=2． 故答案为：2 【例4】已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【分析】根据题意，结合只有一个解，分类讨论，即可求解. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 【例5】已知集合中仅有3个整数，则的取值范围为 ． 【分析】由可知在数轴上集合A的端点关于点1对称，则A中的三个整数为，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】因为，所以在数轴上集合A的端点关于点1对称， 从而A中的三个整数为， 所以，且，解得． 即实数a的取值范围为 故答案为： 【例6】下列命题中： ①若集合中只有一个元素，则； ②已知命题p：，，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是； ③已知函数的定义域为，则函数的定义域为； ④函数在上单调递增； ⑤方程的实根的个数是2. 所有正确命题的序号是 . 【分析】利用判别式可判断①；利用特称命题的否定为全称命题可判断②；求出的定义域可判断③；分离常量后根据反比例函数的单调性可判断④；在同一坐标系中作出和的图象可判断⑤. 【详解】对于①：时，；时，，则，故或1， 故错误； 对于②：p：，为假命题，则，为真命题， 故即，故正确； 对于③：，则，即的定义域为，故正确； 对于④：，其在上单调递减，故错误； 对于⑤：在同一坐标系中作出和的图象，观察两图象有2个交点， 则方程的实根的个数是2，故正确. 故答案为：②③⑤. 【例7】由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合M满足：对任意的正整数，都存在集合M的两个子集A，B，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合