福建省厦门第一中学2023-2024学年高二下学期数学强化限时训练03（3.16）

厦门一中2022级高二(下)数学强化练习 限时训练03 2024.03.16 ____班____号 姓名_________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知定义在上的函数的导函数为偶函数，则 A． B． C． D．2025 2．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为 A． B．e C． D． 3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为.已知贷款的利率为，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去；设存款利率为，，若使银行获得最大收益，则的值为 A． B． C． D． 4．若过点可以作曲线的两条切线，则 A．B．C．D． 5．抛物线焦点为，直线交抛物线于A,B两点，且满足，则 A．2 B．4 C． D． 6．双曲线右焦点为F，，直线与轴交于点N，点P为双曲线上一动点， 且P在以MN为直径的圆内，直线MP与以MN为直径的圆交于点M,Q，则最大值为 A．48B．49C．50D．42 7．定义在上的奇函数满足，若方程在上恰有三个实数根，则实数k的取值范围是 A．B．C． D． 8．数列满足，表示不超过x的最大整数，则 A． B．0 C．1 D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是 A．B．C． D． 10．已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则 A． B． C．D． 11．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A,C之间的距离为，若P,Q分别为线段BD,CA上的动点，则下列说法正确的是 A．平面平面 B．线段PQ的最小值为 C．当，时，点D到直线PQ的距离为 D．当P,Q分别为线段BD,CA中点时，PQ与AD成角余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理：如果函数满足：①在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数； 则在区间上至少存在一个实数t，使得，其中t称为 “拉格朗日”中值；据此回答：函数在区间上的“拉格朗日中值” ▲ ． 13．已知函数，若关于的不等式在上有实数解， 则实数的取值范围是 ▲ ． 14.已知四面体，且，则四面体体积最大时，其外接球的表面积 为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数，，图象的一条切线方程为；. (1)求； (2)当，时，证明：. 16．（15分） 如图，在四棱柱中，，，底面． (1)若为边的中点，求证：平面平面； (2)若，四棱柱体积为，面积为，求二面角的正弦值． 17．（15分） 设函数，其中a为实数． (1)当时，求的单调区间； (2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：． 18．（17分） 已知双曲线，是的右焦点，的一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过的直线与的右支交于A,B两点，以AB为直径的圆为，是否存在定圆与圆内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明理由. 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求在区间上的最小值； (2)讨论函数的极值点个数； (3)当函数无极值点时，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案 选择题：1~8：ACBD DADC 9.ABD 10.ABC 11.ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】A【详解】，又为偶函数，所以，即， 所以. 2.【答案】C【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 3．【答案】B【详解】若存款利率为，则存款量是，银行支付的利息是，获得的贷款利息是，银行的收益是，则，令得：或（舍去）.当时，；当时，.当时，取得最大值，即当存款利率为时，银行获得最大收益. 4. 【答案】D【详解】上任取，，所以在处的切线方程为，即，点在直线上，可得，令，则.当时，，递增，当时，，递减，所以，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下：当时，直线与图象有两个交点. 法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 5．【答案】D【详解】连接，延长交抛物线于两点，不妨假设在的下方，根据对称性可知，与轴正方向所夹的角为，因为，所以，．由余弦定理，得． 6.【答案】A【详解】由双曲线方