2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，；求证：是的切线； 2．如图，已知直线交于两点，是的直径，点为上一点，且平分，过点作，垂足为点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的直径． 3．如图，点C在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 4．如图，为的外接圆，的角平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 5．如图，是的直径，点C，E在上，平分，交的延长线于点D． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 6．如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，求的长． 7．如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过上的点，分别交，于点，，点是弧的中点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 8．如图，在中，，以为直径作，交边于点D，点E是边的中点，直线交于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长度． 9．如图，在⊙O中，弦与弦相交于点G，于点E，过点B的直线与的延长线交于点F，．      (1)若，求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)请问的值为定值吗？如是，请写出计算过程，若不是请说明理由． 10．如图，点C在的直径上方的圆弧上运动（不与点A，B重合），射线交于点E，，交于点P，平分．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 11．如图，是的直径，点C是上一点，和过点C的直线互相垂直，垂足为D，交于点E，且平分．    (1)求证：直线是的切线； (2)连接，若，，求的长． 12．在中，以为直径的交于点D，边与相切于点C，点E是边的中点，连结．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 13．如图，在中，，以为直径的分别与、交于点D、E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线为的切线； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 14．如图，内接于，是的直径，，于点E，交于点F，交于点G，，连接．    (1)求证：是的切线； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当时，求的长． 15．如图，是的直径，点是上异于、的一点，点是角平分线上一点，连接、，其中交于点，交于点，且点是的中点．    (1)求证：直线是的切线； (2)若点E是的中点，求的值； (3)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．    又为半径， 是的切线 2．（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，为半径， ∴为的切线； （2）过O作，垂足为F， ∵，由垂径定理知，F为的中点， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设半径，则， ∵， ∴ 则 在中，由勾股定理得． 即， 解得． 所以直径为10． 3．（1）证明：连接．如图， 平分， ， ， ， ∵， ． 为的半径； 是的切线； （2）解：是直径， ． ∵， ，， ， 为等边三角形， ，， ∵， ， ． 4．（1）解：证明：连接、，则， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 为的切线． （2）设交于点， 的角平分线交于点，，， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 解得， 的半径长为．    5．（1）证明：连接，．连接交于点P． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴半径． ∴是的切线； （2）∵是的直径， ∴， ∴． ∴四边形是矩形． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，， 在中，． ∴． 在中，． 6．（1）证明：连接，    ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又为半径， ∴为的切线； （2）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，   在中，由勾股定理得： ． 7．（1）连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）设的半径为，则，， 在中，，即， 解得，， 即的半径为4.5． 8．（1）连接，则， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴线段的长度是． 9．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴， ∵是的弦， ∴点B在上， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 连接，如图