2024年九年级数学中考复习：二次函数与特殊三角形问题综合专项突破训练

2024年九年级数学中考复习： 二次函数与特殊三角形问题综合专项突破训练 1．如图，已知抛物线过点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E (1)直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式； (2)若点M是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的动点，连接，点P落在坐标平面内的点处，将沿所在的直线对折．求当点恰好落在直线上时点P的横坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点，点，抛物线与y轴交于点，点D为抛物线顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是下方异于点D的抛物线上一动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是抛物线上一动点，是否存在以点B、C、Q为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图1所示，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式及点C的坐标； (2)如图2所示，点P是抛物线上第一象限的一点，交y轴于点Q，且，求点P的坐标； (3)若点N是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在x轴上方的部分上是否存在点M，使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．    (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出直线的解析式和点D坐标； (3)在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (4)在抛物线的对称轴上是否存在点F，使得是直角三角形？如果存在，直接写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．已知抛物线与x轴交于和两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与y轴右侧的抛物线交于F，与y轴左侧的抛物线交于E，若，求直线的解析式； (3)设点P是抛物线上任一点，点Q在x正半轴上，能否构成以为直角的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 7．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上位于直线上方的一个动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线平移个单位，平移后、的对应点分别为、，在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．    (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C，已知实数m，n（）分别是方程的两根．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段OA上的一个动点（不与点O，A重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴左侧），连接OD，AD． ①求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； ②当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 10．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点E为线段的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作，射线ET交线段于点F，C为y轴正半轴上一点，且，抛物线的图象经过A，C两点．    (1)求此抛物线的函数表达式； (2)求证：； (3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标． 11．如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．    (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，若，求点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上有一动点，若，请直接写出点的坐标． 12．已知抛物线与轴交于和两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与轴右侧的抛物线交于，两点，若，求直线的解析式； (3)设点是抛物线上任一点，点在轴上，能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由． 13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经