2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数的最值

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数的最值 1．已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．某幼儿园有一道长为50米的墙，计划用80米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪．如果设矩形的边米，面积为米． (1)用表示出边的长： ．写出与的关系式： ． (2)当面积为600时，求出边的长． (3)当分别为多少米时，得到的面积最大？最大面积是多少？ 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)连接、，求的面积； (2)分别用配方法和公式法求出抛物线顶点坐标； (3)填空：当时，的取值范围是______；此时函数的最大值是______；当时，的取值范围是____；此时函数的最大值是______． 4．已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点A．       图1               图2                   图3 (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点E，的面积为的面积为，当最大值时，求点的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到（点和点为对应点），直线交轴于点，点S为中点，连接，过点S作的垂线交轴于点，在对称轴上有一点，使得是以为直角边的直角三角形，求直线的解析式． 5．如图，在平面直角坐标系中有一点，将二次函数的图象从点沿的方向平移，直到顶点与点重合为止． (1)设二次函数的图象在平移的过程中与直线的交点为点，且顶点的横坐标为，①用含的代数式表示点的坐标；②当为何值时，点到轴的距离最短？最短距离是多少？ (2)当点到轴的距离最短时，相应的抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点A的坐标为． (1)求b的值； (2)若点D是线段AC上方抛物线上的一个动点（点D与A，C不重合），求点D到直线的最大距离； (3)当时，函数的最大值为，求t的值． 7．已知抛物线经过点，，与y轴交于点C． (1)求这条抛物线的表达式； (2)如图，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数最大值与最小值的差； (3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围． 9．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，为等腰直角底边上的高，抛物线的顶点为点A，且经过B、C两点，B、C两点在x轴上．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点E为抛物线上位于直线上方的一点， 过点E作轴交直线于点N，求线段的长度最大值及此时点E的坐标； (3)如图2，点是抛物线上的一点，点P为对称轴上一动点，在(2)的条件下， 当线段的长度最大时，求的最小值． 10．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为D，对称轴l与x轴交于点H．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求的最小值． 12．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)若点P是上的一动点，过点P作，交于E，连接，求面积的最大值． (3)若点D为的中点，点M是线段上一点，且为等腰三角形，求M点的坐标． 13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不