2024年九年级数学中考复习：二次函数与相似三角形问题综合专项突破训练

2024年九年级数学中考复习： 二次函数与相似三角形问题综合专项突破训练 1．如图1，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求点，点的坐标． (2)如图2，连结和，过点作交抛物线于点．求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连结，在射线上有点，使以点为顶点的三角形与相似，求的长． 2．已知抛物线的图像经过点，点，且与y轴交于点C． (1)求出点B的坐标； (2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点． ①如图1，若点Q为线段上一点，连接，交x轴于点M，连接，当时，求点M的坐标； ②如图2，连接，若满足，求此时点P的坐标． 3．在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．    (1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式； (2)如果射线平分，交轴于点， ①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标； ②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴l与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使的周长最小，求满足条件的点M的坐标； (3)若点P是抛物线上一个动点，且在y轴右侧，过点作轴，垂足为点E，连接．若与相似，求点P的坐标． 5．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，对称轴上是否存在点，使周长最小，求出此时点的坐标和周长最小值； (3)如图2，点为第二象限抛物线上一动点连接交于点，： ，是否存在点，使取最大值，如果存在求出此时点的坐标和最值；若不存在，请说明理由． (4)已知点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，点是第二象限抛物线上一点，点是线段上一点，轴，当线段取得最大值时，是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 6．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，连接，点P在抛物线上，且，求P点坐标． (3)如图2，点D为抛物线顶点．点H为中点，过点H作直线（异于直线）交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，，求点的坐标； (3)如图3，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，记为，点在抛物线上，过点作分别交抛物线于两点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的左边），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为2的线段（点位于点的上方）在轴上方的拋物线对称轴上运动．    (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴于点，当和相似且与是对应边时，求点的坐标． 9．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积最大时，求点的坐标； (3)如图2，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线：与x轴分别交于点，点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线与抛物线关于原点O对称，点P是第四象限抛物线上的点，过点P作轴于点D，连接．若与相似，求点P 的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且． (1)求抛物线解析式． (2)点是抛物线上的一点． ①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标． ②当时，求点的坐标． 12．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的右边），交轴于点．点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点E． (1)求，两点的坐标； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，交x轴正半轴于点C，连接，点E是线段上一动点（不与点O，C重合），以为边在x轴上方作正方形，连接，将线段绕点F逆时针旋转，得到线段，过点P作轴，交抛物线于点H，设点． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，求a的值． (3)当时，求点P的坐标． 14．已知抛物线经过、、三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是直线上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是