上海市宜川中学2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷

上海市普陀区2024学年高三2月宜川中学“新试卷结构” 试验性试卷 数学 考生注意： 1． 本试卷共5页，22道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分48分，每题4分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1． 在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于第 象限． 2． 已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 . 3． 已知等比数列的公比，则 . 4． 设都是非零常数，且满足，则 . （结果用含的式子表示） 5． 已知向量满足，则 ． 6． 已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 ． 7． 海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，经测量其速度为观光艇的2.13倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 .(结果保留3位有效数字) 8． 如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．已知，则实数的最小值为 ；函数，且，则实数 ． 9． 已知，则 ． 10． 祖暅是我国南北朝时期的数学家，著作《缀术》上论及多面体的体积：缘幂势既同，则积不容异——这就是祖暅原理.用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在棱长为2的正方体中，是上一点，于点，，点绕旋转一周所得圆的面积为 （用表示）；将空间四边形绕旋转一周所得几何体的体积为 . 11． 已知双曲线的左､右焦点分别为，过向圆作一条切线与渐近线分别交于点，当时，双曲线的离心率是 . 12． 整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立时，的值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】 13．若，则（    ） A． B． C．2 D． 14．某校举行演讲比赛，10位评委对某选手的评分如下：7.5，7.8，7.8，7.8，8.0，8.0，8.3，8.3，8.8，8.9，选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数．则下列说法错误的是（    ） A．剩下的8个评分的众数为7.8 B．原来的10个评分的80%分位数8.3 C．剩下的8个评分的平均数比原来的10个评分的平均数小 D．剩下的8个评分的方差比原来的10个评分的方差小 15．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 16．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则对于以下两个命题，各选项判断正确的是（    ） ①当时，随着的增大而减小； ②当时，随着的增大而增大 A．①②都是真命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共有6题，满分86分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17．（本题满分12分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）如图，在底面为菱形的直四棱柱中，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面所成夹角的大小． 18．（本题满分12分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）已知函数. (1)讨论函数的单调性和极值； (2)记曲线在处的切线为，求证：与有且仅有1个公共点. 19．（本题满分12分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）已知函数. (1)求的最小正周期和单调区间. (2)若在区间上恰有3个零点，试求的取值范围. 20． （本题满分16分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分） 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻