5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 各国方程发展历程 解下列方程 问题引入 实数根 ? 画出相应的二次函数图像的简图,并写出图象与x轴交点坐标。 方程 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 函数 方程的实数根 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 函数的图象 与x轴的交点 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x2-2x-3=0 x y 0 -1 3 2 1 1 2 -1 -2 -3 -4 x y 0 -1 3 2 1 1 2 5 3 y x 0 -1 2 1 2 y= x2-2x+3 函 数 的 图 象 判别式 =b2-4ac >0 =0 <0 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交点 两个不相等 的实数根x1 、x2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 函数零点的定义: 注意:零点指的是一个实数 零点是一个点吗? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)有零点 判断正误 题型一:求函数的零点。 例一:判断下列函数是否有零点,如果有,请求出零点。 观察函数的图象并填空: 1.在区间[a,b]上f(a) f(b)_0(“<”或“>”). 在区间[a,b)上_(有/无)零点; 2. 在区间[b,c]上f(b) f(c) _ 0(“<”或“>”). 在区间[b,c]上_(有/无)零点; 3.在区间[c,d]上f(c) f(d) _ 0(“<”或”>”). 在区间[c,d]上_(有/无)零点; 有 < 有 < 有 < x y O a b c d O y x g e 问题探究 在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间[a,b]上存在零点? 如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续不断一条曲线,并且有f(a) f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c )=0,这个c也就是方程f(x)=0的解。 零点存在性定理 利用函数性质判断方程在某个区间上有解的方法: 探究:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上“连续不断”和“异号”中有一个或两个条件不成立,该函数是否还存在零点? ①“不连续” “异号” a b 探究:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上“连续不断”和“异号”中有一个或两个条件不成立,该函数是否还存在零点? ②“连续”“不异号” 探究:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上“连续不断”和“异号”中有一个或两个条件不成立,该函数是否还存在零点? ③“不连续”“不异号” 探究:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上“连续不断”和“异号”中有一个或两个条件不成立,该函数是否还存在零点? ④“连续”“异号” a b 探究:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上“连续不断”和“异号”中有一个或两个条件不成立,该函数是否还存在零点? 结论:“连续”“异号”若不成立,则可能有也可能没有零点,但若“连续”“异号”都成立,则一定有零点! (1)f(a) f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内零点,则f(a) f(b)<0。 (3)若函数y=f(x)在(a,b)上满足零点存在性定理,则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。 函数零点存在定理的三个注意点: 1 函数是连续的。 2 定理不可逆。 3 至少存在一个零点。 定理理解:判断正误 错 错 错 0 y x a b a b 0 y x x1 . x 0 y a b 题型二:判定方程解的存在性 (1) 例: 练习2 例 1.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) C 2024/3/15 ( B ) 题型三:判定方程解所在区间 2. 思考题 请判定方程 零点的个数,并给出 一个实数解的存在区间。 思考如何让这个区间的长度更小? 连续,异号,单调——零点唯一 函数零点方程根, 图象连续总有痕。 数形本是同根生, 端值计算是根本。 借问零点何处有, 端值互异零点生。 课 堂 小 结 练习2 课后作业: 1.课本第134页A组习题1,2. 2.课时作业第112页. 谢谢聆听 A. B. C. 和 D. $$