微考点4-2 新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

微考点4-2 2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结 考点一：已知，求 利用，注意一定要验证当时是否成立 【精选例题】 【例1】已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【例2】定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，则等于（    ） A．85 B．90 C．95 D．100 【例3】（多选题）定义为数列的“优值”．已知某数列的“优值”，前n项和为，下列关于数列的描述正确的有（       ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C． D．，，成等差数列 【例4】设数列满足，则的前n项和（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.无穷数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的有（       ） A．为等比数列 B．为递增数列 C．中存在三项成等差数列 D．中偶数项成等比数列 2．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则 ；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 考点二：叠加法（累加法）求通项 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 【精选例题】 【例1】数列满足，且对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________. 【例3】数列满足，，则的最小值是 【跟踪训练】 1．已知数列，，且，．求数列的通项公式________； 2．设数列满足，且. (1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 考点三：叠乘法（累乘法）求通项 若数列满足，则称数列为“类比数列”，求变比数列的通项时，利用累乘法。 具体步骤：，，，， 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 【精选例题】 【例1】数列的前n项和（，n为正整数），且，则______． 【例2】数列满足：，，则通项________． 【跟踪训练】 1.设是首项为1的正项数列，且 ，求通项公式=___________ 2．数列满足：，，则的通项公式为_____________. 3．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若满足，.设为数列的前项和，求. 考点四：用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式。 【精选例题】 【例1】已知数列的前n项和为，首项且，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________. 【例2】（多选题）数列的首项为1，且，是数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【例3】已知数列满足递推公式.设为数列的前项和，则 ，的最小值是 . 【跟踪训练】 1．已知数列满足：①；②.则的通项公式 ；设为的前项和，则 .（结果用指数幂表示） 2.已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 考点五：用“同除指数法”构造等差数列 形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 【精选例题】 【例1】已知数列满足，，求数列的通项公式. 【精选例题】 1.已知数列满足，求数列的通项公式； 考点六：用“同除法”构造等差数列 形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 【精选例题】 【例1】已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2】已知正项数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为，证明：． 【跟踪训练】 1.（多选题）已知数列{}满足，，则下列结论正确的是（       ） A．为等比数列 B．{}的通项公式为 C．{}为递增数列 D．的前n项和 2.（多选题）已知数列满足，，若，，，则的值可能为（   ） A．－1 B．2 C． D．－2 考点七：取对数法构造等比数列求通项 形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解． 形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解． 【精选例题】 【例1】已知数列满足，，则的值为（    ） A． B． C．