专题10.5 二项式定理（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.5 二项式定理（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 二项式定理 全国甲卷（理数）：第13题，5分 北京卷：第12题，5分 天津卷：第11题，5分 北京卷：第4题，4分 天津卷：第11题，5分 命题规律分析 1、二项式定理 二项式定理是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，二项式定理每年都有考查，考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度不大，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解。 考点1 二项式定理 知识点1 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 知识点2 展开式中的通项问题 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题 1．赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为 ，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用 根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. 知识点4 二项式系数最大项问题 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 【方法技巧与总结】 1．. 2．. 【题型1 求二项展开式的特定项】 【例1】（2026·云南楚雄·模拟预测）展开式中的常数项为（    ） A．120 B．240 C．280 D．480 【变式1-1】（2026·江西·模拟预测）展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【变式1-3】（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 【例2】（2026·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【变式2-1】（2026·河北衡水·模拟预测）的展开式中第5项的系数为（    ） A．60 B．64 C．72 D．84 【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）展开式中，项的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·贵州六盘水·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【题型3 两个二项式之积问题】 【例3】（2026·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【变式3-1】（2026·四川广安·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式3-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·江苏扬州·三模）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．60 【题型4 三项展开式问题】 【例4】（2026·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【变式4-1】（2026·广东佛山·三模）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-2】（2026·四川宜宾·三模）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C．30 D．60 【变式4-3】（2026·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【题型5 赋值法求系数和问题】 【例5】（2026·北京昌平·二模）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-1】（2026·浙江·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·北京·二模）若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【题型6 二项式系数的最值问题】 【例6】（2026·江苏盐城·三模）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（2026·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【变式6-2】（2026·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【变式6-3】（2026·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【题型7 整除和余数问题】 【例7】（2026·江西新余·模拟预测）100除的余数为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【变式7-1】（2026·河南许昌·模拟预测）若，则被8除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】（2026·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【变式7-3】（2026·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【题型8 杨辉三角】 【例8】（2026·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【变式8-2】（25-26高二下·江苏·期末）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，记第3行的第4个数字为，第4行的第4个数字为……第行的第4个数字为，则等于（    ）    A．20 B．35 C．56 D．70 【变式8-3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 一、单选题 1．（2026·甘肃·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 2．（2026·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 3．（2026·陕西汉中·一模）已知1，2，n成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 4．（2026·江西宜春·模拟预测）在的展开式中的系数为（    ） A．144 B．136 C．128 D．121 5．（2026·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 6．（2026·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川南充·模拟预测）已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 8．（2026·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·四川成都·一模）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 10．（2026·湖南永州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 三、填空题 12．（2026·山东济宁·模拟预测）的展开式的第4项的系数是___________． 13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设，则___________. 14．（2026·上海普陀·一模）的展开式中含项的系数是___________． 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）在的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项. 16．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 17．（25-26高二下·北京·期末）已知． (1)求的值和含的项的系数； (2)求的值； (3)已知，求的值． 18．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． (1)求正整数n的值； (2)求展开式中含x的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项． 19．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且 ． (1)求的值； (2)求的值； (3)求被7除的余数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.5 二项式定理（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 二项式定理 全国甲卷（理数）：第13题，5分 北京卷：第12题，5分 天津卷：第11题，5分 北京卷：第4题，4分 天津卷：第11题，5分 命题规律分析 1、二项式定理 二项式定理是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，二项式定理每年都有考查，考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度不大，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解。 考点1 二项式定理 知识点1 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. (2)二项展开式的规律 ①二项展开式一共有(n+1)项. ②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. ③每一项中a和b的幂指数之和为n. 2．二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 知识点2 展开式中的通项问题 1．求二项展开式的特定项的解题策略 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 知识点3 二项式系数的和与各项系数的和问题 1．赋值法 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. 2．系数之和问题的解题策略 若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为 ，偶数项系数之和为. 3．展开式的逆用 根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. 知识点4 二项式系数最大项问题 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或. 【方法技巧与总结】 1．. 2．. 【题型1 求二项展开式的特定项】 【例1】（2026·云南楚雄·模拟预测）展开式中的常数项为（    ） A．120 B．240 C．280 D．480 【答案】B 【解题思路】根据二项式定理求出通项即可求得答案. 【解答过程】展开式的通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 故选：B. 【变式1-1】（2026·江西·模拟预测）展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据展开式通项公式写出第项即可. 【解答过程】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 【变式1-2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）二项式的展开式中常数项是（    ） A． B． C．28 D．56 【答案】C 【解题思路】写出展开式的通项，即可求出展开式中常数项. 【解答过程】由题意， 在中，展开式的通项为， 令，解得， ∴展开式中常数项是. 故选：C. 【变式1-3】（2026·北京丰台·三模）在的展开式中，常数项为（ ） A．4 B． C．12 D． 【答案】D 【解题思路】利用二项展开式的通项公式，再令通项中的指数为0取得的值，最后代入计算求得常数项即可. 【解答过程】因为， 所以，， 因为常数项的次数为0，所以，解得， 代入得. 故选：D. 【题型2 求二项展开式的特定项系数】 【例2】（2026·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【解答过程】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 【变式2-1】（2026·河北衡水·模拟预测）的展开式中第5项的系数为（    ） A．60 B．64 C．72 D．84 【答案】A 【解题思路】利用二项式定理求出第5项即可得解. 【解答过程】的展开式中第5项为， 所以所求的系数为60. 故选：A. 【变式2-2】（2026·福建泉州·模拟预测）展开式中，项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】写出二项展开通项，令的指数等于解出，回代计算系数． 【解答过程】的通项公式为， 令，得， 所以． 故选：C. 【变式2-3】（2026·贵州六盘水·模拟预测）的展开式中的系数是（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【解题思路】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【解答过程】对有， 令，则，有， 故的展开式中的系数是. 故选：D. 【题型3 两个二项式之积问题】 【例3】（2026·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．30 C．45 D．15 【答案】A 【解题思路】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【解答过程】的展开式中，有， 则的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为． 故选：A． 【变式3-1】（2026·四川广安·模拟预测）的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【解题思路】先把两项相乘化简，再应用二项式展开式的通项公式结合组合数的计算求解. 【解答过程】的展开式中含的项为， 所以的系数为15. 故选：B. 【变式3-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知的展开式中项的系数为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，进而结合展开式中的通项列方程求解即可. 【解答过程】由， 而展开式中的通项为， ， 令，得；令，得， 则的展开式中项的系数为 ，解得. 故选：A. 【变式3-3】（2026·江苏扬州·三模）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．60 【答案】C 【解题思路】结合通项公式即可求解. 【解答过程】的通项公式， 取，可得，又中不含平方项， 所以的展开式中的系数为, 故选：C. 【题型4 三项展开式问题】 【例4】（2026·浙江·二模）的展开式中，的系数为（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】B 【解题思路】根据展开式中每一项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【解答过程】要得到这一项，相当于从6个含有三项的因式中的3个因式取，1个因式取，2个因式取， 即这一项为. 故的系数为. 故选：B. 【变式4-1】（2026·广东佛山·三模）若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【解答过程】依题意，，所以，即． 故选：C. 【变式4-2】（2026·四川宜宾·三模）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C．30 D．60 【答案】A 【解题思路】利用二项式的通项即可求解. 【解答过程】， 所以展开式的通项为，， 展开式的通项为，， 展开式的通项为，， 令，得，所以含的项的系数是. 故选：A. 【变式4-3】（2026·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【解题思路】求出展开式的通项，再根据的次数确定的次数，最后求出的系数. 【解答过程】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 【题型5 赋值法求系数和问题】 【例5】（2026·北京昌平·二模）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可求解. 【解答过程】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 【变式5-1】（2026·浙江·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别令，，得两式，运算可求得，再令，求得，即可得解. 【解答过程】因为， 当时，， 当时，①， 当时，②， ①+②=， 所以， 所以， 故选：C. 【变式5-2】（2026·重庆·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由赋值法可得. 【解答过程】设， 则， ， 因此，. 故选：C. 【变式5-3】（2026·北京·二模）若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】法一：通过赋值，代入即可求解； 法二：利用二项式定理展开，可分别求得各项的系数，在进行加减运算即可. 【解答过程】法一：令，则， 所以原式左边为， 原式右边为， 所以. 法二：根据二项式定理，得 所以 所以. 故选：A. 【题型6 二项式系数的最值问题】 【例6】（2026·江苏盐城·三模）在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大的是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据二项式定理展开式化简得出通项，结合已知列出方程组求出的值，结合二项式定理的性质即可得出答案. 【解答过程】根据二项式定理可知的展开式的通项为 . 由已知可得，，解得. 根据二项式定理的性质可知，该展开式中二项式系数最大的是第4项. 故选：C. 【变式6-1】（2026·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数的对称性可直接判断结果. 【解答过程】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 【变式6-2】（2026·甘肃白银·三模）已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【解答过程】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B. 【变式6-3】（2026·江苏南通·模拟预测）的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式中二项式系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意求出，写出二项展开式的通项，即可求得二项式系数最大的项. 【解答过程】因为，所以，二项展开式的通项为 ， 故二项展开式中，二项式系数最大的项为. 故选：A. 【题型7 整除和余数问题】 【例7】（2026·江西新余·模拟预测）100除的余数为（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】B 【解题思路】将化为，利用二项式定理展开可得. 【解答过程】 ， 因为是100的倍数 而20249除以100的余数为49. 故选：B． 【变式7-1】（2026·河南许昌·模拟预测）若，则被8除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】令得，令得，两式相减即可得，即 利用二项式定理即可求解. 【解答过程】令得，令得， 两式相减得 ， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以 被8除的余数为4. 故选：C. 【变式7-2】（2026·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2025 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理化简为，展开可得到被10除余3，由此能求出的值． 【解答过程】因为， 又 所以 所以a除以10的余数就等于除以10的余数，即为3， 而给定的五个数中，只有2023除以10后余数为3，所以. 故选：C. 【变式7-3】（2026·甘肃白银·三模）98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【答案】A 【解题思路】将转化为，写出其二项展开式，即可求解. 【解答过程】， 故98除的余数是1． 故选：A. 【题型8 杨辉三角】 【例8】（2026·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解. 【解答过程】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误. 故选：D. 【变式8-1】（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A． B．在第行中，最大 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据定义计算判断A，根据组合数的性质计算判断B，C，D. 【解答过程】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误； 对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和， 因，故，故C正确； 对于选项D，因为 ， 则，故D错误； 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二下·江苏·期末）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，记第3行的第4个数字为，第4行的第4个数字为……第行的第4个数字为，则等于（    ）    A．20 B．35 C．56 D．70 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用组合数公式的性质，即可得到运算结果. 【解答过程】由二项式系数所构成的杨辉三角的数阵中， 可得． 故选：D． 【变式8-3】（25-26高二下·广东中山·阶段检测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解题思路】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【解答过程】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 一、单选题 1．（2026·甘肃·模拟预测）的展开式中的系数为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 【答案】C 【解题思路】由二项展开式通项公式即可求解. 【解答过程】由二项展开式的通项公式： 令，得. 即展开式中的系数为24. 故选：C. 2．（2026·辽宁丹东·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A． B．12 C． D．18 【答案】A 【解题思路】根据多项式展开式系数的计算直接求解即可． 【解答过程】根据题意， 展开式中项为， 所以展开式中的系数为． 故选：A． 3．（2026·陕西汉中·一模）已知1，2，n成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解题思路】通过等比数列的性质求出的值，再利用赋值法得到二项式展开式的所有项系数之和. 【解答过程】由1，2，成等比数列，得，故. 令中，得所有项的系数之和为. 故选：C. 4．（2026·江西宜春·模拟预测）在的展开式中的系数为（    ） A．144 B．136 C．128 D．121 【答案】A 【解题思路】利用二项式展开式的通项公式计算即可得. 【解答过程】， 令，得，所以. 故选：A. 5．（2026·浙江宁波·一模）在的展开式中，的系数为（   ） A．0 B．20 C．10 D． 【答案】A 【解题思路】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【解答过程】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，， 所以的系数为0. 故选：A. 6．（2026·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【解答过程】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 7．（2026·四川南充·模拟预测）已知的二项式系数和为64，则其中错误的是（    ） A． B．常数项是第3项 C．二项式系数最大值为20 D．所有项系数之和等于1 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数和公式，结合二项式系数的性质、二项式的通项公式、赋值法逐一判断即可. 【解答过程】由题意可得，解得，故正确； 二项式的展开式的通项公式为，，1，，6，令，解得，则常数项为第4项，故错误； 因为，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，最大值为，故正确； 令，则展开式的所有项的系数和为，故正确， 故选：B. 8．（2026·湖南益阳·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【解答过程】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（2026·四川成都·一模）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（    ） A． B．第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．展开式各项系数之和为 【答案】ABC 【解题思路】先由题设结合组合数的性质求出n即可判断A；由二项式系数的定义和组合数性质即可求解判断B；由二项式的展开式的通项公式即可求解判断C；由系数定义赋值即可求解判断D. 【解答过程】由题意得，所以，故A正确； 因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 故选：ABC. 10．（2026·湖南永州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】应用赋值法求或系数和判断A、C，由二项式定理求对应项系数判断B，对等式两侧求导，再应用赋值法求系数和判断D. 【解答过程】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD. 11．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．第项为 D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则 【答案】AC 【解题思路】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可. 【解答过程】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵： 则该数阵第行有个数，从左向右分别为， 第行最后一项位于原数列第项， 对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确； 对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数， 由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为， 所以，该数阵第行所有数之和为， 所以，选项B错误； 对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确； 对于D，根据杨辉三角知， ，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2026·山东济宁·模拟预测）的展开式的第4项的系数是___________． 【答案】 【解题思路】写出展开式的通项，根据通项求解. 【解答过程】展开式的通项为， 则， 故展开式的第4项的系数是. 故答案为：. 13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）设，则___________. 【答案】 【解题思路】由并写出展开式通项公式，结合已知求对应项的系数即可. 【解答过程】由，则展开式通项为且， 当，则，故. 故答案为：. 14．（2026·上海普陀·一模）的展开式中含项的系数是___________． 【答案】 【解题思路】先写出二项展开式的通项，根据通项公式，即可写出展开式中含的项，进而可得结果. 【解答过程】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式中含的项为， 因此的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三·全国·一轮复习）在的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项. 【答案】(1)70，1120 (2)112x2 【解题思路】（1）利用二项展开式的通项公式，求得第5项的二项式系数及第5项的系数. （2）利用二项展开式的通项公式，求得倒数第3项. 【解答过程】（1）因为， 其中二项式系数为；系数为. 所以第5项的二项式系数是70，第5项的系数是1120. （2）展开式中的倒数第3项，即展开式的第7项， . 16．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知的展开式中，所有项的二项式系数的和是，求： (1)的值及展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项. 【答案】(1)，和 (2)，，， 【解题思路】（1）所有二项式系数之和为，由此求出n；利用n为奇数时，中间两项的二项式系数最大即可求解； （2）写出通项公式，令x的指数为整数，找出k的可取整数值，算出有理项. 【解答过程】（1）由题可知，， 展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项. 展开式的通项公式为 ；. 综上，展开式中二项式系数最大的项为和； （2）由（1）知展开式的通项公式为， 有理项要求的指数为整数，即，其中， 易知当，，，时，其对应的项依次为： ；； ；. 17．（25-26高二下·北京·期末）已知． (1)求的值和含的项的系数； (2)求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意，令即可求出，利用二项式的通项公式，即可求出的项的系数； （2）根据题意，令即可求解； （3）根据题意，令，通过已知条件求出即可. 【解答过程】（1）已知， 令，所以，解得， 由于的通项公式为， 当时，， 所以含的项的系数为. （2）令，则． （3）当时，则与矛盾，所以， 令，则， 所以．即，解得， 所以. 18．（25-26高二下·河北唐山·期末）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256． (1)求正整数n的值； (2)求展开式中含x的项的系数； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1). (2). (3) 和 . 【解题思路】（1）利用二项式系数和为的性质列方程求解； （2）先写出展开式通项，令的指数为1，判断符合条件的整数，即可得对应系数； （3）写出展开式通项，解不等式组 求出 的范围，找到使系数最大的整数 ，代入通项即可． 【解答过程】（1）二项式的展开式所有项的二项式系数之和为，由题意得，解得． （2）由得二项式为，其展开式通项为： ， 令，解得， 所以展开式中含x的项的系数为． （3）由展开式的通项为， 假设第项系数最大，则，解得， 所以或， 即系数最大项为和. 19．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且 ． (1)求的值； (2)求的值； (3)求被7除的余数． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过配凑法将原式配凑出含有的结构，再利用二项式定理的通项公式直接求出目标系数. （2）采用赋值法，分别令获取所有系数总和、令获取常数项，两者相减即得目标系数和. （3）利用二项式定理将底数拆分为除数的倍数+余数，从而批量去掉所有能被整除的项，即可求得余数. 【解答过程】（1）由题意得，解得，所以， 则，展开的通项为， 令，即的系数. （2）令，即，则有， 即， 令，即，则有，即， 所以. （3） ， 因为能被7整除， 被7除的余数为， 所以被7除的余数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $