第十六章 二次根式 单元复习讲义 2023－2024学年人教版数学八年级下册

二次根式 1、 知识清单梳理 知识点一:二次根式 关键点拨及对应举例 1.有关概念 (1)二次根式的概念:形如(a≥0)的式子. (2)二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0. (3)最简二次根式:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 失分点警示:当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时,注意确保各部分都有意义,即分母不为0,被开方数大于等于0等.例:若代数式有意义,则x的取值范围是x>1. 2.二次根式的性质 (1)双重非负性: ①被开方数是非负数,即a≥0; ②二次根式的值是非负数,即≥0. 注意:初中阶段学过的非负数有:绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. 利用二次根式的双重非负性解题: (1)值非负:当多个非负数的和为0时,可得各个非负数均为0.如+=0,则a=-1,b=1. (2)被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时,可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0. (2)两个重要性质: ①()2=a(a≥0);②=|a|=; (3)积的算术平方根:= (a≥0,b≥0); (4)商的算术平方根: (a≥0,b>0). 例:计算: =3.14;=2; =;=2 ; 知识点二 :二次根式的运算 3.二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式,再合并被开方数相同的二次根式. 例:计算:=. 4.二次根式的乘除法 (1)乘法: =(a≥0,b≥0); (2)除法: = (a≥0,b>0). 注意:将运算结果化为最简二次根式. 例:计算:=1;4. 5.二次根式的混合运算 运算顺序与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号). 运算时,注意观察,有时运用乘法公式会使运算简便. 例:计算:(+1)( -1)= 1 . 通过练习 一、单选题 1. 二次根式在实数范围内有意义,则实数x的取值范围在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3. 若代数式有意义,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.且 4. 已知,则与最接近的整数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5. 若,则( ) A.2 B.4 C. D. 6. 设,则实数m所在的范围是( ) A. B. C. D. 7. 对于二次根式的乘法运算,一般地,有.该运算法则成立的条件是( ) A. B. C. D. 8. 下列二次根式中,与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D. 9. 若有意义,则的值可以是( ) A. B. C. D. 二、填空题 10. 若式子有意义,则x的取值范围是_. 11. 在函数中,自变量x的取值范围是_. 12. 计算_. 13. 计算:_. 14. 请写出一个正整数m的值使得是整数;_. 15. 计算: _ 16. 计算的结果为_. 17. 已知关于的方程,则_ 18. 计算:_. 三、解答题 19. 计算:. 20. 计算: 21. 计算:. 参考答案 1.【答案】C 【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围,然后在数轴上表示即可得解. 【详解】解:根据题意得,, 解得, 在数轴上表示如下: 故选:C. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,不等式的解法,以及在数轴上表示不等式的解集,理解二次根式有意义的条件是解题关键. 2.【答案】D 【分析】根据零指数幂,二次根式的加法以及二次根式的性质,二次根式的混合运算进行计算即可求解. 【详解】解:A. ,故该选项不正确,不符合题意; B. ,故该选项不正确,不符合题意; C. ,故该选项不正确,不符合题意; D. ,故该选项正确,符合题意; 故选:D. 【点睛】本题考查了零指数幂,二次根式的加法以及二次根式的性质,二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 3.【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组,解不等式组即可得到答案. 【详解】解:∵代数式有意义, ∴, 解得且, 故选:D. 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件,熟练掌握相关知识是解题的关键. 4.【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算,进而估算无理数的大小即可求解. 【详解】解: ∵, ∴, ∴与最接近的整数为, 故选:B. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,无理数的估算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. 5.【答案】A 【分析】把代入计算即可求解. 【详解】解:∵, ∴, 故选:A. 【点睛】本题考查了求二次根式的值,掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键. 7.【答案】B 【分析