平行于垂直的证明方法与题型总结讲义-2024届高三数学二轮复习

平行于垂直的证明方法与题型总结 1.平行 题型1：线面平行构造之三角形中位线法 例1.如图，在直三棱柱中，，是中点. 求证：平面； 题型2：线面平行构造之平行四边形法 例2.如图，四棱锥P−ABCD中，E是PD的中点．证明：直线平面PAB. 题型3：利用线面平行的性质证明线线平行 例3.如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面． 证明：； 题型4：面面平行的证明 例4.如图所示，点C在以AB为直径的⊙O上，点E为线段PB的中点，点M在上，且． 求证：平面平面PAC． 题型5：线面平行转化为面面平行 例5.如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，，沿将四边形折成四边形，使点在平面上的射影H在直线上． 求证：平面； 题型6：证明点在平面实际上证明线面平行 例6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上 且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)点C1在平面AEF内. 题型练习 练习1.如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点． (1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 练习2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点． (1)求证：平面BDM∥平面EFC； 练习3. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点． (1)求证：MA∥平面BDE. (2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论． 练习4.如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求证：. 2.垂直 题型1：证明线线垂直与线面垂直 例1.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 题型2：结合线面平行的性质证明线面垂直 例2.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； 题型3：证明面面垂直 例3.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，. (1)证明：平面平面. 题型4：证完线面垂直后等体积法算体积 例4如图，四棱锥中，，为正三角形，，，，． (1)证明：平面；(2)求点到平面的距离． 例5.如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，. (1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离. 题型练习 练习1.如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点. (1)证明：平面； 练习2.如图是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线． （Ⅰ）求证：直线平面； 练习3.如图（一）所示，四边形ABCD是等腰梯形，，，，，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二）所示，且. (1)证明：平面平面EBCD； 练习4.在四棱锥中，． (1)证明：平面平面﹔ 练习5.如图，已知四棱雉中，，是面积为的等边三角形，且，. (1)证明：直线 ；(2)求点到平面的距离. 练习6.如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点. （1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置. 练习7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°. (1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C; (2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平行于垂直的证明方法与题型总结 1.平行 题型1：线面平行构造之三角形中位线法 例1.如图，在直三棱柱中，，是中点. 求证：平面； 【解析】连接，交于点N，连接，如图直三棱柱中，是的中点，又是中点，所以，又平面，平面，所以平面 题型2：线面平行构造之平行四边形法 例2.如图，四棱锥P−ABCD中，E是PD的中点．证明：直线平面PAB. 【答案】证明见解析【解析】取的中点，连接，． 因为是的中点，所以，，由得， 又，所以，即四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，故平面． 题型3：利用线面平行的性质证明线线平行 例3.如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面． 证明：； 【详解】取中点G，连接，， ∵E，G分别是，中点，∴且， 又∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，