贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题

北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高二年级） 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 1 设集合，，则______. 2. 设，为单位向量，且，则______. 3. 设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是______. 4. 在中，，BC边上的高等于,则______________． 5. 过原点且与相切的直线方程是__________. 6. 已知，则的最大值为_______． 7. 已知数列为正项等比数列，且，则最小值为______. 8. 设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则______. 二、解答题（第9题16分，第10题20分，共36分） 9. 已知数列的首项，且，． （）证明数列是等比数列并求数列的通项公式． （）证明：． 10. 已知双曲线中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足. （1）求实数的值； （2）证明：直线与直线的斜率之积是定值； （3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上. 北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高二年级） 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】0 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】5 二、解答题（第9题16分，第10题20分，共36分） 【9题答案】 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析 【10题答案】 【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$