培优专题16：柯西不等式——2024年高三数学二轮复习专项训练

培优专题16：柯西不等式 一、单选题 1．已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．若，则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 3．已知空间向量，向量，且，则不可能是（    ） A． B．1 C． D．4 二、填空题 4．如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为 . 5．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 三、解答题 6．设． (1)解不等式； (2)若，证明：． 7．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)已知，求证：. 8．已知函数（）的最大值为5. (1)求的值； (2)若，，均为正数，且，求的最小值. 9．不等式选讲已知均为正实数，函数的最小值为4． (1)求证：； (2)求证：． 10．已知． (1)若，证明与中至少有一个小于0； (2)若均为正数，求的最小值． 11．已知函数． (1)画出函数的图象； (2)设函数的最大值为，若正实数，，满足，求的最小值． 12．设函数. (1)求不等式的解集； (2)设均为正实数，若函数的最小值为，且.求证：. 13．已知函数的最小值为． (1)求实数m的值； (2)若实数a，b，c满足，证明：． 14．（1）已知函数，求不等式的解集； （2）设、、为正数，求证：． 15．已知函数． (1)若恒成立，求a取值范围； (2)若的最大值为M，正实数a，b，c满足：，求的最大值． 16．已知函数的最大值为6，. (1)求的值； (2)设，，且，求证：. 17．已知函数． (1)解不等式； (2)若对，都有，若、、且，求最小值． 18．设a，b，c为正实数，且. (1)证明：. (2)证明： 19．已知，，求的最值? 20．已知关于的不等式有解. (1)求实数的取值范围； (2)若均为正数，为的最大值，且.求证，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题16：柯西不等式 一、单选题 1．已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立. 所以，所以的最小值为. 故选：B 2．若，则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】由柯西不等式，得， ∴， ∴， 当且时， 即，且与异号时， ， 则的最小值为. 选：C. 3．已知空间向量，向量，且，则不可能是（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】因为， 因为， 利用柯西不等式可得， . 故选：A. 二、填空题 4．如图，已知半圆的直径是半圆上异于点的四点，且，则当六边形面积最大时，的大小为 . 【答案】 【分析】将六边形的面积表示出来，然后使用柯西不等式即可. 【详解】设六边形的面积为， 再设 那么……① 对①式使用柯西不等式有(对①式使5维基本不等式有)： 取等条件：……② 由题知：……③ 联立②③解得：. 故答案为：. 【点睛】本题是填空最后一个题，难度中档，属于跨章节综合题.在高中阶段计算最值的常用方法：①不等式(包括基本不等式，柯西不等式)②辅助角公式③导数求极值. 5．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据不等式构造不等式左侧求解即可. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即，则， 所以，最小值为，此时． 故答案为：. 三、解答题 6．设． (1)解不等式； (2)若，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集； （2）分析函数的单调性，求出函数的最小值，利用柯西不等式求出的最大值，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：当时，