培优专题15：不等式证明——放缩法——2024年高三数学二轮复习专项训练

培优专题15：不等式证明——放缩法 一、填空题 1．黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题： （1） ；（其中表示不超过的最大整数，如） （2）已知正项数列的前项和为，且满足，则 .（参考数据：） 二、解答题 2．已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 3．已知a，b，c为三角形的三边． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．已知等差数列为单调递增数列，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足. （i）求数列的通项公式； （ii）设为非零常数，若数列是等差数列，证明：. 5．记是各项均为正数的数列的前项积，已知，. (1)求的通项公式； (2)证明：. 6．对，恒成立，求的取值范围． 7．已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质. (1)集合具有性质，求的最小值； (2)已知具有性质，求证：； (3)已知具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 8．记为数列的前项和，已知． (1)求证：数列是等差数列； (2)若，求证：． 9．证明：，． 10．证明：，． 11．若且，证明不等式． 12．已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时， (1)； (2)； (3)． 13．已知数列的各项为正且满足，． (1)证明∶． (2)令，记数列的前n项和为，证明． 14．已知a，b，c为正数，且． (1)是否存在a，b，c，使得？若存在，求a，b，c的值；若不存在，说明理由． (2)证明：． 15．已知函数，且点处的切线为． (1)求、的值，并证明：当时，成立； (2)已知，，求证：． 16．已知，且0为的一个极值点． (1)求实数的值； (2)证明：①函数在区间上存在唯一零点； ②，其中且． 17．定义在R上的函数，若对任意的成立，则称函数是函数的“从属函数”． (1)若函数是函数的“从属函数”且是偶函数，求证：是偶函数； (2)若，求证：当时，函数是函数的“从属函数”； (3)设定义在R上的函数与，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数是函数的“从属函数”．设：“函数在R上是严格增函数或严格减函数”；：“函数在R上为严格增函数或严格减函数”，试判断是的什么条件？请说明理由． 18．设均不为零，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 19．各项均不为0的数列满足：，且. (1)求； (2)已知，请证明：. 20．设，数列满足，. (1)若，，证明是等比数列，并求的通项公式； (2)若，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题15：不等式证明——放缩法 一、填空题 1．黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题： （1） ；（其中表示不超过的最大整数，如） （2）已知正项数列的前项和为，且满足，则 .（参考数据：） 【答案】 1 88 【分析】利用放缩法和裂项相消，求的范围，可得的值；由求出，利用利用放缩法和裂项相消，结合条件中的参考数据，求的范围，可得的值. 【详解】（1）， ， 所以，所以； （2）当时，，解得，因为，所以， 当时，，所以，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，因为，所以，所以， 当时，，即， 所以， 令， 则， 因为，，， 所以， ， 因为，，， 所以， 所以，即 故答案为：1,88. 【点睛】方法点睛： 放缩法证明与数列求和有关的不等式，若可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和，一般要先将通项放缩后再求和，放缩为可以求和且“不大不小”，大多是等比模型或裂项相消模型. 二、解答题 2．已知数列的前项和为，前项积为，满足． (1)求，和； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意计算出，将条件中的变为，然后化简可得是等比数列，计算可得； （2）由（1）可得，采用放缩法可得，根据数列求和公式计算即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∵数列的前项积为，满足， ∴时，，化为，变形为， 时，， 数列是首项为4，公比为2的等比数列， ∴， 时，亦满足上式，即； （2）先证明左边：即证明，， 又由，解得， 又， 所以， 再证明右边：， ∴． 3．已知a，b，c为三角形的三边． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，，结合三角形两边之和大于第三边的性质可得答案. （2）利用作差法求证，则，同理，结合不等式的性质可得答案. 【