江苏省东海高级中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷

东海高级中学高一年级第二学期第一次月考 数学试题 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，8题共40分） 1.已知为锐角，且满足如，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.向量“，不共线”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 的值为（ ） A． B． C． D． 4.已知，，，则与的夹角　 　 A． B． C． D． 5. 若，，则值为（ ） A． B． C． D． 6. 若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（     ）． A． B． C． D． 7. 非零向量，满足，且，则为（   ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 且 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.下列化简正确的是( ) A． B． C． D． 10. 已知，则下列选项中可能成立的是（     ） A． B． C． D． 11. 把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比､黄金分割不仅仅体现在诸如绘画､雕塑､音乐､建筑等艺术领域，而且在管理､工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（  ） A． B． C．在上的投影向量为 D．的取值范围是 12．在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．函数的最大值为 三、填空题：本大题每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13. 已知向量，且，则 . 14. 已知，则=____________． 15. 已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．当点P的坐标为 时，取得最小值，且此最小值是 ． (第一空2分，第二个空3分) 16. 函数，函数， 若对所有的总存在，使得成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 17.(本题满分10分)如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点. 求的值； 判断的值是否为一个常数，并说明理由． 18.(本题满分12分)已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 19．（本题满分12分）（Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：. （Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 20.（本题满分12分）某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地上修建一个矩形花园，如图所示已知扇形的圆心角，半径 米，截出的内接矩形花园 的一边平行于扇形弦 设 （单位：米）． （1）以为自变量，求出关于的函数关系式，并求函数的定义域 （2）当为何值时，矩形花园 的面积最大，并求其最大面积． 21.(本题满分12分)已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 22.(本题满分12分)在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东海高级中学高一年级第二学期第一次月考 数学试题 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（每题5分，8题共40分）