大题强化及变式训练（5）-2024届高三数学二轮复习大题强化及变式训练（新高考九省联考题型）

2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（5） 1．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． （1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； （2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 变式：已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． （1）记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； （2）设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客． 附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，． 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点． （1）证明：平面平面PBC； （2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 变式：如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为. （1）在棱DE上找一点G，使得面面AFG，并给出证明; （2）当时，求点F到面ADE的距离; （3）若，求直线DF与面ABC所成角的正弦值. 3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若不等式恒成立，求的取值范围； （3）当时，试判断函数的零点个数，并给出证明． 变式：已知函数 （1）讨论函数在区间上的单调性; （2）证明函数在区间上有且仅有两个零点. 4．已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为． （1）求的方程和离心率； （2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值． 变式：已知椭圆E：过点，且其离心率为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C，D两点，A，B分别为椭圆E的左、右顶点，直线AC，BD交于一点P，M为线段PB上一点，满足，问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O为坐标原点）． 5．对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． （1）数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？ （2）请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）； （3）请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为； （4）某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？ 变式：已知为正整数，数列，记.对于数列，总有，则称数列为项数列.若数列，均为项数列，定义数列，其中. （1）已知数列，求的值； （2）若数列均为项数列，求证：； （3）对于任意给定正整数，是否存在项数列，使得，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（5） 1．某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且． （1）请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）； （2）奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值． 附：若，则． 【答案】（1）159 （2）取得最大值时n的值为8 【分析】（1）利用正态分布的对称性可求，故可估算年龄不低于60岁的人数. （2）利用不等式组可求取得最大值时的值. 【解析】（1）因为，所以， 则， 所以现场年龄不低于60岁的人数大约为(人)． （2）依题意可得，， 设， 所以， 所以 所以，因为整数，所以， 所以当取得最大值时的值为8． 变式：已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布． （1）记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）； （2）设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正