大题06 函数与导数的综合问题（3类题型+必刷题）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（北京专用）

大题06 函数与导数的综合问题 1.利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，多以解答题的形式出现，为压轴题，难度较大. 2.导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等. 3.导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型：(1)判断、证明或讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质研究. 不等式恒成立或有解问题 大题典例1 已知函数.若对恒成立，求a的取值范围. 【解题指导】分离参数→构造函数→函数求导→分析在上的单调性→求的最小值解不等式求a的范围 1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 已知函数，其中是自然对数的底数．若在区间上有解，求实数的取值范围． 【解题指导】函数导数→转化为含参二次函数→分类讨论问题求出函数的最小值→最小值不大于列不等式求解 1.已知函数，其中是自然对数的底数．若在区间上有解，求实数的取值范围． 【解题指导】函数导数→转化为含参二次函数→分类讨论问题求出函数的最小值→最小值不大于列不等式求解 2.（2023·北京朝阳一模改编）设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3.如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． 【思维导引】函数恒成立求导 确定在上单调性求→转化为恒成立→构造函数→函数求导，→利用单调性求→列不等式求参 （全国甲（理）卷T21节选）已知，若恒成立，求a的取值范围． 【解题指导】移项构造函数→函数求导并化简→二次求导→计算二次导函数的最大值→与0比较大小→确定的分界点→对参数讨论→等价转化求解 导数与不等式的证明 大题典例2 已知各项均为正数的等比数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和，证明：. 利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数. 已知函数f(x)＝ln x＋x.，证明：xf(x)<ex. 【解题指导】xf(x)<ex→1＋<→构造函数g(x)＝1＋→函数g(x)求导→分析单调行→求g(x)max→构造函数h(x)＝→函数h(x)求导→分析单调行→h(x)min→比较可得 1.已知函数f(x)＝1－，g(x)＝－＋＋x.证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. 【解题指导】f(x)＋g(x)≥→移项化简→构造函数h(x)＝1－－－＋x→函数h(x)求导→分析单调行→利用h(x)≥h(1)＝0→得到结论 2.已知函数f(x)＝ex，当x>－2时，求证：f(x)>ln(x＋2)． 【解题指导】构造函数g(x)＝＝ex－x－1→函数g(x)求导→分析单调行→求g(x)min→构造函数令h(x)＝x＋1－ln(x＋2)→函数h(x)求导→分析单调行→h(x)min→放缩可得 （2023新课标全国Ⅱ卷T22第（1）问）证明：当时， 【解题指导】分别构建，→分别求导→利用导数判断原函数的单调性→最小值大于0→ 确定结论 导数与函数的零点 大题典例3 （2023·北京密云三模改编)已知函数．若有两个不同的零点，求的取值范围． 【解题指导】求导→分和讨论→由几何意义得→构造函数→对求导→利用导数得到的单调性得的取值范围. 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题. 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 1.已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数． 【解题指导】g(x)求导→求g(1)，g(2a＋3)及符号→对a分类讨论→利用导数研究函数单调性，确定零点个数 2.已知．求在上的零点个数． 【解题指导】零点个数→与