大题05 圆锥曲线中的综合问题（3类题型+必刷题）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（北京专用）

大题05 圆锥曲线中的综合问题 1.解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数、三角等相关运算. 2.解析几何中的定点问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，其类型一般为直线过定点与圆过定点等. 3.在解析几何题目中，有些几何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.定值问题是高考的热点问题、难度较大，一般作为压轴题出现. 4.解析几何中的探究性问题，一般探究某种命题是否正确，某种位置关系是否成立等，是高考的热点问题，难度较大. 最值与范围问题 大题典例1 （2023·北京大兴区兴华中学三模）已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左右顶点为，，且动点，在双曲线上，直线与直线交于点，，，求的取值范围. 求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系. (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系. (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式. (4)利用基本不等式. （2023·北京延庆模拟）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且． (1)求抛物线的方程； (2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值． 1.（2023·北京密云三模）已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，． (1)求抛物线的方程； (2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值． 2．（2023·北京丰台二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值. （2023全国甲卷数学（文）（理））已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设C的焦点为F，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 定点与定值问题 大题典例2 （2023·北京延庆一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证：k1·k2＝－； (2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由． 1.动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0). (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. 2.解定值问题的两大途径 (1)可由特例得出一个值(此值一般就是定值)，然后证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关. (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子与分母约分得定值. （2023·北京房山一模）已知抛物线C：，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点. (1)若，M的坐标为，求直线l的方程. (2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值. 1.（2023·北京朝阳一模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段的中点为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于点，，证明：以弦为直径的圆恒过点. 2．（2023·北京石景山一模）已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2. （1）求椭圆C的方程； （2）若D为椭圆C的弦AB的中点，，证明：的面积为定值. （2023新课标全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 探索与证明问题 大题典例3 （2023·北京景山学校模拟）已知椭圆C：的右焦点为F，长轴长为4，离心率为.过点的直线与椭圆C交于A，B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设直线AF，BF的斜率分别为，证明：=0 1.探索性问题的求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.常见的位置关系有：证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等。证明位置关系,关键是将位置关系转化为代数关系 几何性