大题03 立体几何中的向量方法（4类题型+必刷题）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（北京专用）

大题03 立体几何中的向量方法 1.以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解；2.空间距离(特别是点到面的距离)也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等. 2.立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等；2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上. 直线与平面所成的角 大题典例1 （2023·北京房山二模）如图，已知直三棱柱中，，为中点，，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题： (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 1.如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝｜cos＜a，n＞｜＝ 2.向量法求直线与平面所成角的主要方法是： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. （2023·北京西城二模）如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 1．（2023·北京模拟）如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2024·安徽省舒城中学一模）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，，M是棱PD上的点，且PB与平面MAC平行．    (1)求证：； (2)若Q为棱PC上的动点，求MQ与平面PBC所成角的余弦值的最小值． （2022北京卷）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 平面与平面的夹角 大题典例2 （2023·北京海淀·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点． (1)求证：； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小． 条件①：； 条件②：平面平面； 条件③：． 1.平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝； 2. 二面角：二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cos φ｜＝cos θ＝， 如图②③. 【提醒】注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为 3.向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法 （1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. （2023·北京模拟）如图，在四棱锥中，，，底面，为棱上的点，，.    (1)若平面，求证：点为的中点； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面 条件②：直线与夹角的余弦值为 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 1.（2023·北京·北京四中模拟）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.    (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 2.（2023·北京通州·三模）如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.    (1)证明：. (2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离. （2023北京卷）如图，在三棱锥中，平面，．