大题02 数列求和（3类题型+必刷题）-【大题精做】冲刺2024年高考数学大题突破+限时集训（北京专用）

大题02 数列求和 近几年高考，数列中新定义是必考内容，难度较大，作为压轴题呈现 分组求和与并项求和 大题典例1 在等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，或cn＝且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和. 3.分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，然后再求和. 已知数列的首项，且满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 1.（2023·山东滨州·二模）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 2.（2023·开封高中模拟）已知等比数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项和为，满足. (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. （2021新课标全国Ⅰ卷）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 三角函数的图象与解析式 大题典例2 已知各项均为正数的等比数列的首项. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和，证明：. 裂项相消法求和的步骤 提醒　消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. 已知等比数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和记为，求． 1.（2024·河南郑州·三模）已知正项数列的前项和为，，且当时． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，数列的前项和为，试比较与的大小，并加以证明. 2．（2024·湖北·鄂南高中模拟）已知递增的等差数列满足：成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，，求数列的前项和. （2022·新高考Ⅰ卷T17） 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 三角函数的图象及其性质 大题典例3 已知数列的首项，前n项和为，且．设． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 错位相减法求和的步骤 已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 1.（2023·华中师大一附中模拟）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 2．（2023·上饶市第一中学模拟预测）已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． （2023全国甲（理）卷T17）11．已知数列中，，设为前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大题02 数列求和 近几年高考，数列中新定义是必考内容，难度较大，作为压轴题呈现 数列中新定义问题 大题典例1 （2023·北京东城·统考二模）已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）. (1)若，求及； (2)若，求证：互不相同； (3)已知，若对任意的正整数都有或，求的值. 【解】（1）因为，所以，则； （2）依题意， 则有， 因此， 又因为， 所以 所以互不相同. （3）依题意 由或，知或. 令，可得或，对于成立， 故或. ①当时， ， 所以. ②当时， 或. 当时，由或，有， 同理， 所以. 当时，此时有， 令，可得或，即或. 令，可得或. 令，可得. 所以. 若，则令，可得，与矛盾. 所以有. 不妨设， 令，可得，因此. 令，则或. 故. 所以. 综上，时，. 时，. 时，. 数列新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. （2023·北京·人大附中校考三模）有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，． (1)若{}：0，1，．求的取值范围； (2)若，当取最小值时，求的最大值； (3)若，，求m的所有可能取值． 【解】（1）由题设，则，即或， 所以或，任意两项均不相等，故、， 故的取值范围且； （2）由{}各项均为整数，任意两项均不相等，要使最小，即尽量小， 则，故中的前5项为， 要使最大，即最大， 而，则 不妨令，只需依次使取到最大，