专题6 几何综合题-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ６ 几 何 综 合 题 专题６　几何综合题（８年１考） ［云南考情早知道］近８年仅２０１８年２４题考查几何综合题，但根据最新统考趋势，压轴题考查 ２问几何综合题概率较大． 　　　　　　　　　　　　　　　　类型１ 非动态类问题（２０１８．２３） １．（２０２２昆明官渡区一模改编）在矩形 ＡＢＣＤ 中，ＡＣ、ＢＤ交于点 Ｏ，ＢＣ＝ｋ·ＡＢ（ｋ为常 数）．作∠ＥＯＦ＝９０°，ＯＥ、ＯＦ分别与ＡＢ、ＢＣ 边相交于点Ｅ、Ｆ，连接ＥＦ． （１）发现问题：如图①，若ｋ＝１，猜想： ＯＥ ＯＦ＝　１　； （２）类比并拓展：如图②，若 ＦＯ＝ＦＣ，ｋ＝ 槡５，ＯＤ＝２槡６，求ＥＦ的长． 图① 　　 图② 第１题图 ２．（２０２３宁波改编）定义：有两个相邻的内角 是直角，并且有两条邻边相等的四边形称 为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻 等角． （１）如图①，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ， ∠Ａ＝９０°，对角线 ＤＢ平分∠ＡＤＣ．求 证：四边形ＡＢＣＤ为邻等四边形； （２）如图②，四边形 ＡＢＣＤ是邻等四边形， ∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＢＣＤ为邻等 角，连接 ＡＣ，过 Ｂ作 ＢＥ∥ＡＣ交 ＤＡ的 延长线于点Ｅ．若ＡＣ＝８，ＤＥ＝１０，求四 边形ＥＢＣＤ的周长． 图① 图② 第２题图 （１）证明：在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝ ９０°，∴∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ａ＝９０°， ∵对角线ＤＢ平分∠ＡＤＣ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ， ∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＢ，∴ＣＤ＝ＣＢ， ∴四边形ＡＢＣＤ为邻等四边形； （２）解：四边形ＥＢＣＤ的周长为３８－６槡２，详解见 本册ＰＸ                                                                 ． ５６ 培优册·云南数学 专 题 ６ 几 何 综 合 题 ３．（２０２３包头改编）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，对 角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｐ，Ｑ分别是边 ＢＣ，线段 ＯＤ上的点，连接 ＡＰ，ＱＰ，ＡＰ与 ＯＢ相交于点Ｅ． （１）如图①，连接 ＱＡ．当 ＱＡ＝ＱＰ时，试判 断点 Ｑ是否在线段 ＰＣ的垂直平分线 上，并说明理由； （２）如图②，若∠ＡＰＢ＝９０°，且∠ＢＡＰ＝ ∠ＡＤＢ．当 ＯＱ＝ＯＥ时，设 ＥＰ＝ａ，求 ＰＱ的长（用含ａ的代数式表示）． 图① 图② 第３题图 解：（１）结论：点Ｑ在线段ＰＣ的垂直平分线上． 理由：如解图①，连接ＱＣ． ∵四边形 ＡＢＣＤ是菱形，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ， ∴ＢＤ⊥ＡＣ，ＯＡ＝ＯＣ， ∴ＱＡ＝ＱＣ， ∵ＱＡ＝ＱＰ， ∴ＱＣ＝ＱＰ， ∴点Ｑ在线段ＰＣ的垂直平分线上； （２）ＰＱ＝槡７ａ，详解见本册ＰＸ． 类型２　与动点有关的问题 ４．在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝８，ＢＣ＝１６，Ｅ、Ｆ是直 线ＡＣ上的两个动点，分别从Ａ、Ｃ两点同时 出发相向而行，速度均为每秒２个单位长 度，运动时间为ｔ秒，其中（０≤ｔ≤１０），Ｇ、Ｈ 分别从点 Ａ、Ｃ沿折线 Ａ－Ｂ－Ｃ，Ｃ－Ｄ－Ａ 运动，以与点Ｅ，Ｆ相同的速度同时出发． （１）如图①，若四边形 ＥＧＦＨ为菱形，求 ｔ 的值； （２）如图②，作ＡＣ的垂直平分线交ＡＤ、ＢＣ 于点Ｐ、Ｑ，当四边形ＰＧＱＨ的面积是矩 形ＡＢＣＤ面积的１５３２时，求ｔ的值． 图① 　　 图② 第４题图 解：（１）如解图①，连接 ＧＨ，ＣＨ，ＡＣ与 ＧＨ交于 点Ｏ， ∵四边形ＥＧＦＨ为菱形， ∴ＡＣ⊥ＧＨ，ＯＥ＝ＯＦ， ∵ＡＥ＝ＣＦ， ∴ＯＡ＝ＯＣ， ∴ＡＨ＝ＨＣ， ∵ＨＣ２＝ＣＤ２＋ＤＨ２， ∴ＡＨ２＝６４＋（１６－ＡＨ）２， ∴ＡＨ＝ＣＨ＝１０， ∴ＤＨ＝６， ∴ＣＤ＋ＤＨ＝８＋６＝１４， ∴ｔ＝１４２＝７； （２）ｔ＝５２，详解见本册ＰＸ                                                                          ． ６６ 培优册·云南数学 专 题 ６ 几 何 综 合 题 ５．（２０２３昆明五华区期末改编）在菱形 ＡＢＣＤ 中，∠ＡＢＣ＝６０°，点Ｐ是射线 ＢＤ上一动点 （不与点Ｂ重合），以ＡＰ为边向右侧作等边 △ＡＰＥ． （１）如图①，当点Ｅ在菱形ＡＢＣＤ内部或边 上时，连接ＣＥ．则ＢＰ与ＣＥ的数量关系 是　ＢＰ＝ＣＥ　，ＣＥ与 ＡＤ的位置关系 是　ＣＥ⊥ＡＤ　； （２）如图②，当点 Ｅ在菱