专题4 切线的判定及相关计算-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ４ 切 线 的 判 定 及 相 关 计 算 专题４　切线的判定及相关计算（必考） ［云南考情早知道］圆的解答题每年必考一道，切线的判定及相关计算题近４年必考，且第一问 均为切线的判定，第二问考查形式有：（１）求线段长（８年２考）；（２）线段比值定值问题（８年１ 考）；（３）求面积（８年２考）；（４）面积倍分问题（８年１考）；（５）求角的三角函数值（８年１考）． 解题工具：同角或等角的三角函数、勾股定理、相似三角形． 典例精讲 突破设问一　切线的判定 类型一　有公共点，连半径，证垂直 （１）利用平行证垂直（２０２０．２０） ［适用条件］已知垂线或９０°，目测所连半径与９０°角的一边平行． 例１题图 例１　如图，以△ＡＢＣ的边ＡＢ为直径作⊙Ｏ，⊙Ｏ过ＢＣ的中点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＣ． 求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线． 【题意分析】连接ＯＤ→ Ｏ是ＡＢ的中点 Ｄ是ＢＣ的中点 → ＯＤ∥ＡＣ ＤＥ⊥ → ＡＣ 得证 证明：如解图，连接ＯＤ，∵Ｄ是ＢＣ的中点，ＯＡ＝ＯＢ， ∴ＯＤ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＯＤ∥ＡＣ． 又∵ＤＥ⊥ＡＣ，∴ＯＤ⊥ＤＥ， 又∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径，∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线． （２）利用等角转换证垂直（２０２１．２２，２０２０．２０，２０１８．２２） ［适用条件］已知两角互余或９０°及角度或线段之间倍分关系． 例２　如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，Ｄ是边ＡＣ上的一点，连接ＢＤ，使∠Ａ＝２∠１，Ｅ是ＢＣ上 的一点，以ＢＥ为直径的⊙Ｏ经过点Ｄ． 求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线． 【题意分析】 连接 ＯＤ → 选择证∠Ｃ＋ ∠ＤＯＣ＝９０° → 已知∠Ｃ＋ ∠Ａ＝９０° → 寻找∠Ａ与 ∠ＤＯＣ的关系 → ∠Ａ＝２∠１， ∠ＤＯＣ＝２∠１ →得证 例２题图 证明：如解图，连接ＯＤ， ∵ＯＤ＝ＯＢ，∴∠１＝∠ＯＤＢ， ∴∠ＤＯＣ＝∠１＋∠ＯＤＢ＝２∠１， 又∵∠Ａ＝２∠１， ∴∠ＤＯＣ＝∠Ａ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠Ａ＋∠Ｃ＝９０°， ∴∠ＤＯＣ＋∠Ｃ＝９０°， ∴∠ＯＤＣ＝９０°，∴ＯＤ⊥ＤＣ， 又∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线． ８４ 培优册·云南数学 专 题 ４ 切 线 的 判 定 及 相 关 计 算 （３）利用全等证垂直（２０１７．２３） ［适用条件］已知或易推一边一角或两边对应相等． 例３题图 例３　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，以ＡＢ为直径的⊙Ｏ与ＢＣ相交于点 Ｅ，在ＡＣ上取一点Ｄ，连接ＤＥ，使得ＤＥ＝ＡＤ． 求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线． 【题意分析】 连接 ＯＥ → 已知∠ＢＡＣ＝９０°， ＤＥ＝ＡＤ，ＯＡ＝ＯＥ→ 连接ＯＤ，ＯＤ 为公共边 → △ＡＯＤ≌ △ＥＯＤ →得证 证明：如解图，连接ＯＥ，ＯＤ，在△ＡＯＤ和△ＥＯＤ中， ＯＡ＝ＯＥ， ＤＡ＝ＤＥ， ＯＤ＝ＯＤ { ， ∴△ＡＯＤ≌△ＥＯＤ（ＳＳＳ），∴∠ＯＥＤ＝∠ＢＡＣ＝９０°，即ＯＥ⊥ＤＥ， 又∵ＯＥ是⊙Ｏ的半径，∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线． （４）利用相似证垂直（２０２３．２３，２０２２．２３） ［适用条件］已知线段之间乘积等量关系或比值等量关系． 例４　如图，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，弦ＡＢ⊥ＣＤ于点Ｅ，Ｆ是ＤＣ延长线上的一点，连接ＢＦ．若ＥＯ＝ １，ＣＦ＝ＯＣ＝２．求证：直线ＢＦ是⊙Ｏ的切线． 【题意分析】 例４题图 证明：如解图，连接ＯＢ， ∵ＣＤ是⊙Ｏ的直径，ＡＢ⊥ＣＤ，∴∠ＯＥＢ＝９０°， ∵ＣＦ＝ＯＣ＝２， ∴ＯＢ＝ＯＣ＝２，ＯＦ＝ＯＣ＋ＣＦ＝４， 又∵ＯＥ＝１，∴ＯＢＯＦ＝ ２ ４＝ １ ２， ＯＥ ＯＢ＝ １ ２， ∴直线ＢＦ是⊙Ｏ的切线． 类型二　无公共点，作垂直，证相等 例５题图 例５　如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＯ为∠ＡＢＣ的平分线，以点 Ｏ为圆心， ＯＣ长为半径作⊙Ｏ与线段ＡＣ交于点Ｄ．求证：ＡＢ为⊙Ｏ的切线． 【题意分析】 过点Ｏ作ＡＢ 的垂线ＯＨ → 已知ＢＯ为 ∠ＡＢＣ的平分线， ∠ＡＣＢ＝９０° → 利用角平分线 性质证ＯＨ＝ＯＣ→ 得证 证明：如解图，过点Ｏ作ＯＨ⊥ＡＢ于点Ｈ， ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴ＯＣ⊥ＢＣ． ∵ＢＯ为∠ＡＢＣ的平分线，ＯＨ⊥ＡＢ， ∴ＯＨ＝ＯＣ，∴ＯＨ为⊙Ｏ的半径， ∴ＡＢ为⊙Ｏ的切线． ９４ 培优册·云南数学 专 题 ４ 切 线 的 判 定 及 相 关 计 算 突破设问二　圆中相关性质的计算 类型一　线段问题（２０２２．２３，２０２１．２２，２０２０．２０） 例１　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝９０°，点 Ｄ为 ＢＣ边的中点，以 ＡＤ为直径作⊙Ｏ，分别与 ＡＢ，ＡＣ交于点Ｅ，Ｆ，过点Ｅ的切线ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ．若ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝４５，⊙Ｏ的半径为５，求ＥＧ 的长． ［思路点拨］已知三角函数值 可找同一个角在不同直角三角形中的三角函数； 可找等角的三角函数，可