专题3 特殊四边形的判定及相关计算-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ３ 特 殊 四 边 形 的 判 定 及 相 关 计 算 专题３　特殊四边形的判定及相关计算 （必考，２０２３．２２，２０２２．２１，２０２１．２０，２０２０．２２，２０１９．２０，２０１８．２３，２０１７．２０） ［云南考情早知道］特殊四边形的判定及相关计算每年必考一道解答题，考查设问有： （１）菱形的判定（８年４考）；（２）矩形的判定（８年３考）；（３）求线段长（８年３考）；（４）求面积 （８年４考）；（５）求角度（８年２考）． 　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２３杭州）如图，平行四边形 ＡＢＣＤ的对 角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线 ＢＤ上，且 ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＤ，连接 ＡＥ，ＥＣ， ＣＦ，ＦＡ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是平行四边形； （２）若△ＡＢＥ的面积等于 ２，求△ＣＦＯ的 面积． 第１题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢ ＣＤ是平行四边形， ∴ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯ， ∵ＢＥ＝ＤＦ， ∴ＥＯ＝ＦＯ， ∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形； （２）解：∵ＢＥ＝ＥＦ， ∴Ｓ△ＡＢＥ＝Ｓ△ＡＥＦ＝２， ∵四边形ＡＥＣＦ是平行四边形， ∴Ｓ△ＡＥＦ＝Ｓ△ＣＥＦ＝２，ＥＯ＝ＦＯ， ∴Ｓ△ＣＦＯ＝１． ２．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＥ⊥ＡＤ 于点Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＢＥＤＦ是矩形； （２）连接 ＢＤ，如果 ｔａｎ∠ＢＤＥ＝２，ＢＦ＝１， ＡＢ＝ＡＤ，求ＡＢ的长． 第２题图 ３．（２０２３昭通鲁甸县二模）如图，在平行四边 形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ， ＤＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，连接 ＨＯ．ＡＣ＝８，ＢＤ＝６， ＡＢ＝５． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形； （２）求△ＤＨＯ的周长． 第３题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，ＡＣ＝８，ＢＤ＝６， ∴ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ＝ ４，ＯＤ＝ＯＢ＝１２ＢＤ ＝３， ∵ＡＢ＝５， ∴ＯＡ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２， ∴△ＡＯＢ是直角三角形，且∠ＡＯＢ＝９０°， ∴ＡＣ⊥ＢＤ， ∴平行四边形ＡＢＣＤ是菱形； （２）解：∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＯＢ＝ＯＤ， ∵ＤＨ⊥ＡＢ， ∴ＤＨ·ＡＢ＝１２ＡＣ·ＢＤ，ＯＨ＝ １ ２ＤＢ＝３， 即５ＤＨ＝１２×８×６， ∴ＤＨ＝２４５， ∴△ＤＨＯ的周长为２４５＋３＋３＝ ５４ ５                                                              ． ３４ 培优册·云南数学 专 题 ３ 特 殊 四 边 形 的 判 定 及 相 关 计 算 ４．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＦ⊥ＡＣ 于点Ｆ，Ｅ是 ＡＣ的中点，连接 ＢＥ，并延长 ＢＥ至点Ｄ，使ＢＥ＝ＤＥ，连接ＡＤ，ＣＤ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若∠ＣＢＦ＝３∠ＡＢＦ，求∠ＥＢＦ的度数． 第４题图 （１）证明：∵Ｅ为ＡＣ的中点，∴ＡＥ＝ＣＥ， 又∵ＢＥ＝ＤＥ，∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）解：∵∠ＡＢＣ＝９０°，∠ＣＢＦ＝３∠ＡＢＦ， ∴∠ＡＢＦ＝１４∠ＡＢＣ＝２２．５°， ∵ＢＦ⊥ＡＣ，∴∠ＡＦＢ＝９０°，∴∠ＢＡＦ＝９０°－ ∠ＡＢＦ＝６７．５°， 由（１）得，四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＡＥ＝ＢＥ， ∴∠ＥＡＢ＝∠ＡＢＥ＝６７．５°， ∴∠ＥＢＦ＝∠ＡＢＥ－∠ＡＢＦ＝６７．５°－２２．５°＝４５°． ５．（２０２３北京）如图，在ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分 别在ＢＣ，ＡＤ上，ＢＥ＝ＤＦ，ＡＣ＝ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是矩形； （２）若 ＡＥ＝ＢＥ，ＡＢ＝２，ｔａｎ∠ＡＣＢ＝１２，求 ＢＣ的长． 第５题图 ６．如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，Ｅ是 ＡＢ边的中点， 沿ＥＣ折叠矩形ＡＢＣＤ，使点Ｂ落在点Ｐ处， 折痕为ＥＣ，连接 ＡＰ并延长交 ＣＤ于点 Ｆ， 连接ＢＰ交ＥＣ于点Ｍ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ为平行四边形； （２）若矩形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，求 ＰＦ的长． 第６题图 （１）证明：由折叠得到ＢＥ＝ＰＥ，ＥＣ⊥ＰＢ， ∵Ｅ为ＡＢ的中点， ∴ＡＥ＝ＥＢ＝ＰＥ，∴ＡＰ⊥ＢＰ，∴ＡＦ∥ＥＣ， 由矩形的性质可得ＡＥ∥ＦＣ， ∴四边形ＡＥＣＦ为平行四边形； （２）解：∵ＡＢ＝６，∴ＢＥ＝３， ∴在 Ｒｔ△ＥＢＣ中，ＥＣ２＝ＢＥ２＋ＢＣ２＝３２＋４２＝ ５２，∴ＥＣ＝５， 由（１）得四边形ＡＥＣＦ为平行四边形， ∴ＡＦ＝ＥＣ＝５， 在Ｒｔ△ＥＢＣ中，ＢＭ＝ＢＥ·ＢＣＣＥ ＝ ３×４ ５ ＝ １２ ５， ∴ 在 Ｒｔ△ＢＭＥ 中，ＥＭ ＝ ＢＥ２－ＢＭ