专题8 四点共圆问题-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ８ 四 点 共 圆 问 题 专题８　四点共圆问题（２０１９．２３，２０１８．２３） 类 型 １　四点共圆的证明 方法 图示 圆心 方法一 到定点的距离等于定长的点都 在同一个圆上（圆的定义） （人教九上Ｐ８０例１）  该定点 方法二 共斜边的两个直角三角形的四 个顶点共圆 （人教九上Ｐ８６图２４．１－１３） 　  斜边中点 方法三 同侧共边三角形且公共边所对 角相等的四个顶点共圆（同弧 所对圆周角相等） 说明：如图，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ，则 Ａ， Ｂ，Ｄ，Ｃ四点共圆，也可得∠ＣＡＤ ＝∠ＤＢＣ  两条弦垂直  平分线交点 方法四 对角互补的四边形四个顶点共 圆（圆内接四边形性质） 说明：在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＋ ∠Ｃ＝１８０°（或∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°）， Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆  四边形相邻两边  垂直平分线交点 针对训练 １．如图，ＡＦ是⊙Ｏ的直径，Ｂ，Ｃ是⊙Ｏ上两点，ＡＢ与 ＡＣ的延长线分别交过点 Ｆ的切线于点 Ｄ，Ｅ． 求证：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ四点共圆． 所用方法：　对角互补的四边形的四个顶点共圆　． 第１题图 ９２ 培优册·云南数学 专 题 ８ 四 点 共 圆 问 题 　　　　　　　　　　　　　　　　２．（２０２２遵义节选）如图，已知△ＡＢＣ是等腰 三角形，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＢＣ上（不与ＢＣ的 中点重合），连接 ＡＤ．作点 Ｃ关于 ＡＤ的对 称点 Ｅ，连接 ＥＢ并延长交 ＡＤ的延长线于 点Ｆ，连接ＡＥ，ＤＥ． 求证：Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｅ四点共圆． 所用方法： 　． 第２题图 证明：∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ， ∵点Ｅ与点Ｃ关于ＡＤ对称， ∴ＡＥ＝ＡＣ，ＤＥ＝ＤＣ， ∴∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ，∠ＤＥＣ＝∠ＤＣＥ， ∴Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｅ四点共圆． ３．如图，△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°，过 点Ｃ任作一条直线 ＣＤ，将线段 ＢＣ沿直线 ＣＤ翻折得线段 ＣＥ，直线 ＡＥ交直线 ＣＤ于 点Ｆ，∠ＡＥＢ＝４５°．直线ＢＥ交直线ＣＤ于点 Ｇ，连接ＢＦ． 求证：Ａ，Ｂ，Ｆ，Ｃ四点共圆． 所用方法： 　． 第３题图 ４．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＡＣ是⊙Ｏ的切线， ＢＣ交⊙Ｏ于点Ｄ，点 Ｅ是 ＡＣ的中点，连接 ＯＤ，ＤＥ． 求证：Ｏ，Ａ，Ｅ，Ｄ四点共圆． 所用方法： 　． 第４题图 证明：如解图，连接ＯＥ， ∵ＡＣ是⊙Ｏ的切线，∴ＡＣ⊥ＯＡ， ∴∠ＢＡＣ＝９０°． ∵点Ｅ是ＡＣ的中点， ∴ＡＥ＝ＣＥ． ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＡＥ＝ＥＣ， ∴ＯＥ是△ＡＢＣ的中位线， ∴ＯＥ∥ＢＣ， ∴∠ＡＯＥ＝∠Ｂ，∠ＥＯＤ＝∠ＯＤＢ， ∵ＯＤ＝ＯＢ， ∴∠Ｂ＝∠ＯＤＢ， ∴∠ＡＯＥ＝∠ＥＯＤ， 在△ＡＯＥ和△ＤＯＥ中， ＯＡ＝ＯＤ， ∠ＡＯＥ＝∠ＤＯＥ， ＯＥ＝ＯＥ { ， ∴△ＡＯＥ≌△ＤＯＥ（ＳＡＳ）， ∴∠ＯＤＥ＝∠ＯＡＥ＝９０°， ∴点Ｏ，Ａ，Ｅ，Ｄ在以ＯＥ为直径的圆上， 即Ｏ，Ａ，Ｅ，Ｄ四点共圆                                                                          ． ０３ 培优册·云南数学 专 题 ８ 四 点 共 圆 问 题 类 型 ２　四点共圆的性质应用 　　　　　　　　　　　　　　　　５．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点共圆，且∠ＡＣＢ＝ ∠ＡＣＤ＝６０°，则△ＡＢＤ是　等边　三角形． 第５题图 ６．（１）如图①，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝ ∠ＢＣＤ＝９０°，∠ＢＤＣ＝２５°，则∠ＢＡＣ的 度数为　２５°　； （２）如图②，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝ ６０°，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝５０°，则∠ＡＤＢ的 度数为　７０°　； 图① 　　 图② 第６题图 （３）在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｄ 是△ＡＢＣ外一点，且ＡＤ＝ＡＣ，则∠ＢＤＣ 的度数为　４５°或１３５°　． ７．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＤＣ∥ＡＢ，ＢＣ＝１， ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝２，则ＢＤ的长为　槡１５　． 第７题图 　 第８题图 ８．如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ⊥ＢＤ 于点Ｏ，ＡＣ＝２４，ＢＤ＝１０，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别为 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的中点，则点 Ｅ，Ｆ，Ｇ三点所确 定的圆的周长为　１３π　．（结果保留π） ９．如图，若ＡＤ，ＢＥ为△ＡＢＣ的两条角平分线， Ｉ为内心，若Ｃ，Ｄ，Ｉ，Ｅ四点共圆，且ＤＥ＝１， 则ＩＤ＝　　　　． 第９题图 　　 第１０题图 １０．如图，矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ＝３，Ｒｔ△ＢＥＦ的 直角顶点 Ｅ在对角线 ＡＣ上，另一