专题4 看到圆，如何添加辅助线&专题5 几何面积法的应用-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ４ 看 到 圆  如 何 添 加 辅 助 线 专题４　看到圆，如何添加辅助线（必考） 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴　　　　　　　　　　　　　　　　干 货 满 满 （１）辅助线一：连接圆上一点和圆心构造 半径→等边对等角或垂径定理； （２）辅助线二：连接直径一端点和圆上一 点构造９０°角→直角三角形性质； （３）辅助线三：过圆心作弦的垂线→构造 直角三角形→勾股定理； （４）与切线相关： ①辅助线四：连接切 点与圆心（如图中 虚线ＯＣ）； ②辅助线五：连接切点与直径一端点 构造 ９０°的圆周角（如图中虚线 ＢＣ）． １．（２０２２营口）如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在⊙Ｏ上， ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ＝４，∠ＡＤＣ＝３０°，则 ＢＣ的长 为 （　Ａ　） Ａ．４槡３ Ｂ．８ Ｃ．４槡２ Ｄ．４ 第１题图 　　 第２题图 ２．（２０２２荆门）如图，ＣＤ是圆 Ｏ的弦，直径 ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，若ＡＢ＝１２，ＢＥ＝３，则四 边形ＡＣＢＤ的面积为 （　Ａ　） Ａ．３６槡３ Ｂ．２４槡３ Ｃ．１８槡３ Ｄ．７２槡３ ３．（２０２２昆明呈贡区二模）如图，⊙Ｏ是△ＡＢＣ 的外接圆，ＡＤ是⊙Ｏ的直径．若ＡＤ＝１３，弦 ＡＢ＝５，则ｔａｎ∠ＡＣＢ的值为 （　Ｄ　） Ａ．１３５ Ｂ． １２ １３ Ｃ． ５ １３ Ｄ． ５ １２ 第３题图 　　 第４题图 ４．如图，⊙Ｏ的半径为 ５，Ｍ是⊙Ｏ外一点， ＭＯ＝６，∠ＯＭＡ＝３０°，则弦ＡＢ的长为　８　． ５．（２０２２德宏州一模）如图，在△ＡＢＣ中， ∠ＣＢＥ＝２∠Ａ，以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ与 ＡＣ 交于点Ｄ，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，交ＡＢ 的延长线于点Ｅ． （１）判断直线ＤＥ与⊙Ｏ的位置关系，并说 明理由； （２）当ｓｉｎ∠ＡＥＤ＝３５，⊙Ｏ的直径为３０时， 求ＢＦ的长． 第５题图 解：（１）直线ＤＥ与⊙Ｏ相切；理由如下： 如解图，连接ＯＤ， ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴∠Ａ＝∠ＡＤＯ， ∵∠ＤＯＥ＝２∠Ａ，∠ＣＢＥ＝２∠Ａ， ∴∠ＤＯＥ＝∠ＣＢＥ，∴ＯＤ∥ＢＣ， ∵ＤＦ⊥ＢＣ，∴∠ＢＦＥ＝９０°， ∴∠ＯＤＥ＝９０°，∴ＯＤ⊥ＤＥ， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴直线ＤＥ与⊙Ｏ相切； （２）由（１）可知ＯＤ∥ＢＣ， ∴△ＥＦＢ∽△ＥＤＯ，∴ＢＦＯＤ＝ ＢＥ ＯＥ， 在Ｒｔ△ＢＥＦ中， ∵ｓｉｎ∠ＡＥＤ＝３５，设ＢＦ＝３ｘ，ＢＥ＝５ｘ， ∵ＡＢ＝３０，∴ＯＢ＝ＯＤ＝１５， ∴３ｘ１５＝ ５ｘ １５＋５ｘ， 解得ｘ１＝０（舍去），ｘ２＝２， 经检验ｘ＝２是原分式方程的解， ∴ＢＦ＝３ｘ＝３×２＝６                                                                     ． ９１ 培优册·云南数学 专 题 ５ 几 何 面 积 法 的 应 用 专题５　几何面积法的应用（必考） ［云南考情早知道］三角形、四边形面积法的应用近８年每年必考１－３道题．考查设问有： （１）已知面积倍数关系，求字母值（８年１考）； （２）求面积（８年６考）； （３）求平行线间距离（８年１考）； （４）点到直线距离（８年１考）； （５）利用相似求面积（比）（８年３考）． 本专题暂不讨论相似中的面积问题． ［设问解读］ （１）求解点到直线距离、平行线间距离都可转化为求解几何图形中的高，而高可与面积关联； （２）菱形中线段之积可转化为求面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　 典例精讲 例１　如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，ＣＥ平分 ∠ＡＣＢ．若 Ｓ△ＡＣＥ Ｓ△ＤＣＥ ＝４３，则 ＢＣ ＡＣ＝　　　　． 【分析】△ＡＥＣ，△ＤＥＣ分别以 ＡＥ，ＥＤ为底 边，则是不同底，同高；△ＡＥＣ，△ＤＥＣ分别 以 ＡＣ，ＣＤ为底边，则是不同底，等高， ∵ＢＣ＝２ＤＣ，∴求ＢＣＡＣ可转化为求 ＡＣ ＤＣ． 【答案】　　　　 例１题图 　　 例２题图 例２　如图，在边长为４的等边△ＡＢＣ中，点Ｐ 为ＢＣ边上任意一点，ＰＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＰＦ⊥ ＡＣ于 点 Ｆ，则 ＰＥ ＋ＰＦ 的 长 度 和 为　　　　． 【分析】Ｓ△ＡＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＡＢ边上的高＝Ｓ△ＡＢＰ＋ Ｓ△ＡＣＰ是解题关键． 【答案】　２槡３              