专题3 看到四边形，如何添加辅助线-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ３ 看 到 四 边 形  如 何 添 加 辅 助 线 专题３　看到四边形，如何添加辅助线（８年２考） 　　　　　　　　　　　　　　　　 典例精讲 角 度 １　连接对角线，构造相等线段或特殊 三角形（２０１７．２０） 例１　如图，菱形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝４， Ｅ，Ｆ分别是 ＢＣ，ＣＤ的中点，连接 ＡＥ，ＥＦ， ＡＦ，则△ＡＥＦ的周长为　　　　． 例１题图 【分析】菱形中∠Ｂ＝６０°，连接对角线 ＡＣ可 得等边三角形． 【答案】　６槡３　 角 度 ２　过顶点作垂线，构造直角三角形 例２　（２０２２无锡改编）如图，在ＡＢＣＤ中， ＡＤ＝ＢＤ，∠ＡＤＣ＝１０５°，点 Ｅ在 ＡＤ上， ∠ＥＢＡ＝６０°，则ＥＤＣＤ的值是　　　　． 例２题图 【分析】过点 Ｂ作 ＡＤ的垂线可得直角三角 形，再结合含３０°，４５°角的直角三角形的性 质和勾股定理表示出ＥＤ和ＣＤ． 【答案】　　　　 角 度 ３　利用对角互补构造全等三角形 （２０２２．２３） 基本 图形 ∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°， ＣＢ＝ＣＤ 辅助线 作法 作法：延长 ＡＢ，使 ＢＭ＝ＡＤ，连接ＣＭ 结论： △ＣＤＡ≌△ＣＢＭ 作法：过点 Ｃ分别 向ＡＢ，ＡＤ作垂线 结论： △ＣＤＮ≌△ＣＢＭ 作法：将△ＡＣＤ绕 点Ｃ逆时针旋转得 到△ＭＣＢ 结论： △ＣＤＡ≌△ＣＢＭ 例３　如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝ ∠ＢＣＤ＝９０°，ＡＢ＝ＡＤ，若四边形ＡＢＣＤ的面 积是２４，则ＡＣ的长是　　　　． 例３题图 【分析】易得∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°，且 ＡＢ＝ＡＤ， 考虑过点 Ａ向 ＢＣ，ＣＤ作垂线构造全等三 角形． 【答案】　４槡３                                                                    　 ７１ 培优册·云南数学 专 题 ３ 看 到 四 边 形  如 何 添 加 辅 助 线 强化训练 １．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点 Ｏ，过点Ｃ作ＣＥ∥ＢＤ，交ＡＤ的延长线 于点Ｅ，连接 ＯＥ．若 ＡＢ＝２，ｔａｎ∠ＡＣＤ＝２， 则ＯＥ的长为　槡３７　． 第１题图 ２．（２０２２铁岭）如图，ＣＤ是△ＡＢＣ的角平分 线，过点Ｄ分别作ＡＣ，ＢＣ的平行线，交 ＢＣ 于点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ．若∠ＡＣＢ＝６０°，ＣＤ＝ ４槡３，则四边形ＣＥＤＦ的周长是　１６　． 第２题图 ３．如图，菱形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｍ在 ＡＤ上，且 ＣＤ＝ＣＭ，点 Ｆ为 ＡＢ上的点，且∠ＥＣＦ＝ １ ２∠Ｂ．求证：ＢＦ＝ＥＦ－ＥＭ． 第３题图 ４．（２０２２文山州期末）如图，△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＡＢ边上任意一点，Ｆ是ＡＣ中点，过点Ｃ作 ＣＥ∥ＡＢ交 ＤＦ的延长线于点 Ｅ，连接 ＡＥ，ＣＤ． （１）求证：四边形ＡＤＣＥ是平行四边形； （２）若∠Ｂ＝３０°，∠ＣＡＢ＝４５°，ＡＣ＝槡２，求 ＡＢ的长． 第４题图 （１）证明：∵ＣＥ∥ＡＢ， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＣＥＤ． ∵Ｆ是ＡＣ的中点， ∴ＡＦ＝ＣＦ． 在△ＡＦＤ与△ＣＦＥ中， ∠ＡＤＥ＝∠ＣＥＤ， ∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＥ， ＡＦ＝ＣＦ { ， ∴△ＡＦＤ≌△ＣＦＥ（ＡＡＳ）， ∴ＤＦ＝ＥＦ， ∴四边形ＡＤＣＥ是平行四边形； （２）解：如解图，过点Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于点Ｇ， 在△ＡＣＧ中，∠ＡＧＣ＝９０°，ＡＣ＝槡２，∠ＣＡＧ＝４５°， ∴由勾股定理得ＣＧ＝ＡＧ＝１． 在△ＢＣＧ中，∠ＢＧＣ＝９０°，∠Ｂ＝３０°，ＣＧ＝１， ∴ＢＣ＝２， ∴ＢＧ＝ ＢＣ２－ＣＧ槡 ２＝槡３， ∴ＡＢ＝ＡＧ＋ＢＧ＝槡３＋１                                                                          ． ８１ 一战成名·云南数学 培 优 册 槡２２，△ＣＯＮ∽△ＣＢＭ，∴ＯＮ∶ＢＭ＝ＯＣ∶ＢＣ 槡＝１∶２，解得ＯＮ＝ ２，∴ＯＢ＝ＯＮ＋ＢＮ 槡＝２＋２２，∴ＡＣ＝ＢＤ＝２ＯＢ 槡＝４＋４２． ４．Ｃ　【解析】如解图，延长 ＢＤ，ＡＣ交于点 Ｅ，∵ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，且 ＡＤ⊥ＢＤ于点 Ｄ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ，∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＤＥ＝９０°，在△ＡＢＤ和△ＡＥＤ中， ∠ＢＡＤ＝∠ＥＡＤ， ＡＤ＝ＡＤ， ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ { ， ∴△ＡＢＤ≌△ＡＥＤ（ＡＳＡ），∴ＡＢ＝ＡＥ，ＢＤ＝ＤＥ，∴Ｓ△ＡＢＤ＝ Ｓ△ＡＥＤ，Ｓ△ＢＤＣ＝Ｓ△Ｅ