专题2 看到角平分线，如何添加辅助线-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 专 题 ２ 看 到 角 平 分 线  如 何 添 加 辅 助 线 专题２　看到角平分线，如何添加辅助线（８年５考） 　　　　　　　　　　　　　　　　角 度 １ 角平分线＋边的垂线构造“双垂直” （２０２１．１４） 解读 图示 文字 描述 已知：ＯＣ平分∠ＡＯＢ，ＣＤ⊥ＯＡ于 Ｄ点 作法：过点Ｃ作ＣＥ⊥ＯＢ于Ｅ点 结论：ＣＤ＝ＣＥ，△ＯＣＤ≌ △ＯＣＥ， ＯＤ＝ＯＥ 针对训练 １．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝３０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｄ，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为 Ｅ．若ＤＥ＝１，则ＢＣ的长为 （　Ａ　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２＋槡２ Ｂ．槡２＋槡３ Ｃ．２＋槡３ Ｄ．３ 第１题图 　　 第２题图 ２．如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＤＦ⊥ＡＢ于 点Ｆ，且ＤＥ＝ＤＧ，Ｓ△ＡＤＧ＝２４，Ｓ△ＡＥＤ＝１８，则 △ＤＥＦ的面积为 （　Ｂ　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．６ 第３题图 ３．如图，ＡＣ⊥ＢＣ，ＡＣ＝ＢＣ，Ｄ是 ＢＣ上 一 点，连 接 ＡＤ，与 ∠ＡＣＢ的平分线交于点Ｅ，连 接ＢＥ．若 Ｓ△ＡＣＥ＝ ６ ７，Ｓ△ＢＤＥ＝ ３ １４，则ＡＣ＝　２　． 角 度 ２　角平分线＋角平分线的垂线构造 “等腰三角形” 解读 图示 文字 描述 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，点Ｍ在ＯＡ上， ＭＰ⊥ＯＰ 作法：延长ＭＰ交ＯＢ于点Ｎ 结论：△ＭＯＮ是等腰三角形 △ＰＯＭ≌△ＰＯＮ 针对训练 ４．如图，已知点 Ｄ为△ＡＢＣ内一点，ＡＤ平分 ∠ＣＡＢ，ＢＤ⊥ＡＤ，∠Ｃ＝∠ＣＢＤ．若 ＡＣ＝１０， ＡＢ＝６，则ＡＤ的长为　４槡２　． 第４题图 　　 第５题图 ５．如图，过点Ｂ作△ＡＢＣ的角平分线ＡＤ的垂 线，点 Ｅ为垂足，点 Ｆ在 ＡＣ上，∠ＦＢＥ＝ ∠ＣＢＥ，若 ＡＢ＝３，ＡＣ＝６，则 ＣＦ的长 为　　　　． ６．如图，在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝４，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， 过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＤ于点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ∥ ＣＢ，分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｆ，若ＥＦ＝２ＤＦ， 则ＡＢ的长为 （　Ｂ　） 　　　　　　　　　　　　　　　 第６题图 Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．                                                                     １０ ４１ 培优册·云南数学 专 题 ２ 看 到 角 平 分 线  如 何 添 加 辅 助 线 角 度 ３　角平分线＋平行线构造“等腰三角形” （２０２１．１４，２０２０．２０（１），２０１８．２３（２），２０１７． ２３（１），２０１６．２０（１）） 解读 图示 文字 描述 已知：ＯＣ平分∠ＡＯＢ 作法：过ＯＣ上的点Ｃ作ＣＤ∥ＯＢ 结论：△ＯＣＤ为等腰三角形 针对训练 ７．如图，在△ＡＢＣ中，已知 ＡＢ＝８，ＢＣ＝５，点 Ｄ，Ｅ分别为ＢＣ，ＡＣ的中点，ＢＦ平分∠ＡＢＣ 交ＤＥ于点Ｆ，则ＥＦ的长为　１．５　． 第７题图 ８．多解法 獉獉獉 如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，则 ＡＢ∶ＡＣ等于 （　Ａ　） 第８题图 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．ＢＤ∶ＣＤ Ｂ．ＡＤ∶ＣＤ Ｃ．ＢＣ∶ＡＤ Ｄ．ＢＣ∶ＡＣ 角 度 ４　角平分线＋边上任意一点“截长补短” 构全等 解读 图示 文字 描述 已知：ＯＰ平分∠ＡＯＢ，点Ｍ在ＯＡ上 作法：在ＯＢ上截取ＯＮ＝ＯＭ，连接ＰＮ 结论：△ＰＮＯ≌△ＰＭＯ（ＳＡＳ） ＰＮ＝ＰＭ 针对训练 ９．多解法 獉獉獉 如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝２∠Ｂ，ＡＤ 平分∠ＢＡＣ交 ＢＣ于点 Ｄ，若 ＡＢ＝５，ＡＣ＝ ３，求ＣＤ的长． 第９题图                 【点拨】ＡＤ平分∠ＢＡＣ→在 ＡＢ上截取 ＡＥ＝ＡＣ，可得△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ． 思路一：在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ，连接ＤＥ； 思路二：延长 ＡＣ到 Ｆ，使得 ＡＦ＝ＡＢ，连接 ＤＦ． 解：解法一：如解图①，在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ，连 接ＤＥ． ∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， 又∵ＡＤ＝ＡＤ，∴△ＡＥＤ≌△ＡＣＤ（ＳＡＳ）， ∴ＤＥ＝ＤＣ，∠ＡＥＤ＝∠Ｃ， ∵∠Ｃ＝２∠Ｂ，∴∠ＡＥＤ＝２∠Ｂ， ∵∠ＡＥＤ是△ＢＥＤ的外角， ∴∠ＡＥＤ＝∠Ｂ＋∠ＥＤＢ， ∴∠Ｂ＝∠ＥＤＢ，∴ＢＥ＝ＤＥ，∴ＢＥ＝ＣＤ， ∴ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝ＡＣ＋ＣＤ， ∵ＡＢ＝５，ＡＣ＝３，∴ＣＤ＝２． 解法二：延长 ＡＣ到 Ｆ，使得 ＡＦ＝ＡＢ，连接 ＤＦ． 详解见本册ＰＸ          