第二十六章 二次函数（5核心+8题型+4难点+复习讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学二次函数单元复习讲义以“概念-图象-性质-应用”为主线构建知识体系，通过表格对比三种解析式特征，用要点速测题强化概念辨析，结合图形平移规律与方程关系梳理知识脉络，突出图象性质及解析式求解等重难点。 讲义亮点在于分层设计“题型+难点”训练，如用营销利润问题培养模型意识，通过含参函数综合题提升推理能力，基础达标与能力进阶题满足不同学生需求，助力自主复习，为教师实施精准教学提供系统资源。

第二十六章 二次函数 复习要点 1. 理解二次函数的概念及一般形式 `y=ax²+bx+c（a≠0）`，能准确区分二次函数与一次函数、反比例函数，并识别各项系数。 2. 掌握二次函数三种解析式（一般式、顶点式、交点式）的特点，能根据条件灵活选择设式求解析式。 3. 理解二次函数 `y=a(x-h)²+k` 的图象与性质，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值，能区分a、h、k对图象的影响。 4. 掌握二次函数图象的平移规律（左加右减、上加下减），理解图象平移的本质是顶点位置的移动。 5. 理解二次函数与一元二次方程的联系，能利用判别式 `Δ` 判断抛物线与x轴的交点情况，并运用二次函数解决实际问题（如最值问题）。 复习重难点 重点：二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性），以及用待定系数法求解析式。 难点：灵活运用数形结合思想解决综合问题（如含参函数、图象与方程不等式结合），以及从实际问题中建立二次函数模型并求最值。 知识点 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如 （a，b，c是常数， ）的函数，叫做二次函数 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： （a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式： （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式： ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 要点速测 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 知识点 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 顶点 （ ， ） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 最点 抛物线有 点 抛物线有 点 增减性 当x< 时，y随x的增大而减小； 当x> 时，y随x的增大而增大 当x< 时，y随x的增大而增大； 当x> 时，y随x的增大而减小 要点速测 3．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 知识点 二次函数的平移 二次函数平移遵循“上 下 ，左 右 ”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 要点速测 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当 时，就变成了一元二次方程 （a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 的横坐标． 3）（1） ⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与 ； （2） ⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与 ； （3） ⇔方程没有实数根，抛物线与 ． 要点速测 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 知识点 用二次函数的性质解决实际问题 1．利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出 ，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的 或 2．二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 要点速测 7．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 题型1 二次函数的定义 ▌例1 （25-26九年级上·安徽宣城·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 1. 严格判定标准：函数必须是整式，只含一个自变量，自变量最高次数为2。关键条件是二次项系数a≠0，这是判断与含参问题的首要依据。 2. 化为标准形式：解题时需将函数式整理为y=ax²+bx+c（a≠0）的标准形式，再准确识别a、b、c的值，注意各项系数需带上前面的符号，避免遗漏或错判。 ▌迁移练1-1（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 ▌迁移练1-2（25-26九年级上·北京·课后作业）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） ▌迁移练1-3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 题型2 把y=ax²+bx+c化成顶点式 ▌例2 （25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 解题要点 1. 提系数配方：先提取二次项系数a（括号内二次项系数化为1），括号内加上并减去一次项系数一半的平方，即 y=a(x²+b/a·x)+c 变为 y=a[(x+b/2a)²-(b/2a)²]+c。 2. 合并常数项：展开括号，合并常数项，得到顶点式 y=a(x-h)²+k，其中 h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a。注意符号，顶点坐标为 (h,k)，且a决定开口方向与大小。 ▌迁移练2-1（25-26九年级上·湖北恩施·期末）若二次函数可以配成顶点式，则__________． ▌迁移练2-2（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． ▌迁移练2-3（24-25九年级上·山东滨州·期末）若二次函数配方后为，则h和k的值分别为______． 题型3 二次函数的图象和性质 ▌例3 （25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 解题要点 1. 抓住核心要素：根据解析式确定开口方向（a）、对称轴（x=-b/2a）、顶点坐标（-b/2a, 4ac-b²/4a）。结合图象分析增减性、最值及与坐标轴交点。 2. 数形结合解题：画出草图，将代数式与图象对应。比较函数值大小时，利用对称轴判断点与轴的距离；平移问题抓住顶点变化；交点问题转化为方程求解。 ▌迁移练3-1 （25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）对二次函数的性质描述正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴右侧 ▌迁移练3-2 （26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 ▌迁移练3-3 （2026·内蒙古通辽·三模）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 2 4 2 … 则下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 题型4 画y=ax²+bx+c的图象 ▌例4 （25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 解题要点 1. 确定关键要素并列表：先配方得顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标。以对称轴为中心，左右对称取点（如顶点两侧各取2-3个点），列表计算对应y值。 2. 描点连线标注：在坐标系中准确描出各点，用平滑曲线按自变量从小到大顺序连接成抛物线。最后标注顶点、对称轴及函数解析式，注意开口方向与对称性。 ▌迁移练4-1 （25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． ▌迁移练4-2 （25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． ▌迁移练4-3 （25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． x 0 1 2 3 4 y 题型5 二次函数的平移 ▌例5 （2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 解题要点 1. 抓住顶点平移规律：将解析式化为顶点式 y=a(x-h)²+k，平移只改变顶点坐标 (h,k)。遵循“左加右减（对x），上加下减（对y）”，即平移后顶点为 (h±m, k±n)。 2. 转化为一般式或点式：求出平移后的顶点式后，如需一般式则展开整理。若题目已知平移前后对应点，也可利用对称轴或顶点坐标快速确定平移方式。注意a值不变。 ▌迁移练5-1 （2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为________． ▌迁移练5-2 （25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． ▌迁移练5-3 （25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上． （1）___________； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围是___________． 题型6 待定系数法求二次函数的表达式 ▌例6 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 解题要点 1. 据条件设恰当形式：已知任意三点设一般式 y=ax²+bx+c；已知顶点或对称轴设顶点式 y=a(x-h)²+k；已知与x轴交点设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)。 2. 代入解系数组方程：将已知点坐标代入所设形式，建立关于待定系数（a、b、c或a、h、k等）的方程（组），解出系数后回代，最后化为一般式或题目要求的形式。 ▌迁移练6-1 （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． ▌迁移练6-2 （25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． ▌迁移练6-3 （2026·浙江温州·三模）已知二次函数（b，c均为常数）． (1)若函数图象经过点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后，恰好落在抛物线上，求m的值； (3)若函数图象上有两点，，且，求b的取值范围． 题型7 二次函数与一元二次方程的交点问题 ▌例7 （25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 解题要点 1. 交点即方程根：二次函数 y=ax²+bx+c 与x轴交点的横坐标即对应方程 ax²+bx+c=0 的实数根。交点个数由判别式 Δ=b²-4ac 决定：Δ＞0⇔两个交点；Δ=0⇔一个交点（顶点在x轴上）；Δ＜0⇔无交点。 2. 函数与不等式结合：求图象在x轴上方或下方对应x范围时，转化为解不等式 ax²+bx+c＞0 或＜0，结合开口方向和图象草图，利用“大于取两边，小于取中间”快速判断。 ▌迁移练7-1 （25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． ▌迁移练7-2 （25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． ▌迁移练7-3 （2026·北京·三模）已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 题型8 利用二次函数解决实际问题 ▌例8 （25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 解题要点 1. 建模列函数式：仔细审题，找准等量关系，设自变量和因变量，将实际问题转化为二次函数解析式。注意标明自变量的实际取值范围（如时间≥0、销量为正整数等）。 2. 求最值验实际：利用配方法或顶点公式求出函数最值（最大利润、最大面积等）。关键要验证顶点横坐标是否在取值范围内，若不在，则根据增减性取区间端点值，最后作答要带单位。 ▌迁移练8-1 （25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ ▌迁移练8-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ ▌迁移练8-3 （26-27九年级上·全国·单元复习）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 难点一 二次函数图象与其他函数图象共存问题 难点1：多函数参数的协同制约 二次函数与一次函数或反比例函数共含相同参数（如系数k、m）。难点在于需同时满足各函数在坐标系中的图象特征（开口、增减、过象限），并依参数取值范围与各函数特性建立联立不等式，极易顾此失彼。 难点2：图象位置的交叉验证 在同一坐标系中判断图象共存时，交点、截距及特殊点常受多函数相互影响。难点在于以“数”验“形”，通过判别式、对称轴等条件排除矛盾图象，若未按参数分类分区间逐项验证，则易误选表面合理但实际矛盾的组合。 难点精练 1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C．D． 2．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 难点二 二次函数图象与各项系数符号问题 难点1：基本符号的判定口诀固化 学生常死记“左同右异”“上正下负”等口诀判断a、b、c，却忽视该结论的严格推导过程。难点在于理解系数符号与图象几何特征（开口、对称轴、截距）之间的充要关系，避免在复杂图象中因口诀误用导致基本符号判断失准。 难点2：代数式的符号复合判定 涉及a+b+c、a-b+c及4a+2b+c等组合式时，不能直接观察系数，需通过令x=1、-1或2等特殊点结合图象纵坐标正负来判定。难点在于构造符合题意的特殊点，并综合分析多个系数符号的复合效应。 难点精练 1．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 2．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 难点三 利用二次函数的增减性求待定系数 难点1：对称轴与区间的相对位置分类 二次函数增减性以对称轴为界。题目给定单调区间时，需按对称轴在区间左侧、内部、右侧三类情形讨论。难点在于建立含参不等式组时，学生易遗漏“对称轴恰好落在区间端点”这一边界情形。 难点2：开口方向的双重制约 若二次项系数含参，其正负直接影响开口朝向，进而改变增减规律。难点在于需先判定开口方向，再结合对称轴位置反向推导待定系数范围，分类讨论中极易因符号判断错乱导致解集失误。 难点精练 1．（2026·广东佛山·三模）二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 2．（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为8，则的值为________． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 难点四 二次函数与几何图形的综合问题 难点1：复杂几何条件的坐标转译 图形中的“等腰”“直角”“相似”等条件需转化为点坐标间的代数关系（如距离公式、斜率乘积为-1）。难点在于辅助线添加与方程联立时，对未定动点坐标的灵活设元，易受几何直观干扰，建模方向偏差。 难点2：多解与存在性的分类检验 动态几何产生多种位置情形，对应多组方程解。难点在于利用判别式、线段长度非负及图形实际存在域进行多轮筛选，既要逐个验证解是否满足所有几何条件，又需排除重合或退化图形，分类过程极易疏忽边界条件。 难点精练 1．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 难点五 二次函数中的新定义型综合问题 难点1：创新规则向解析式的等价转化 新定义常构造新型函数关系（如“关联点”“倒序差”）。难点在于透过非标准表述，将其精准转化为含参的二次函数解析式或约束不等式，若转化偏离等价性，后续逻辑将全面塌陷。 难点2：新定义与原有函数性质的交叉验证 探究结论时，需将新定义规则与对称轴、判别式、最值等固有性质相结合，并以参数分类分段推证。难点在于兼顾双重规则的兼容性，逆向推理时易忽视定义域或取值范围的特殊限制，导致增解或证伪不全。 难点精练 1．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 2．（2026·江西赣州·模拟预测）抛物线，若满足，则称抛物线为“恒定”抛物线． (1)【定义理解】若经过原点的抛物线为“恒定”抛物线，则m的值为 ． (2)【定义运用】求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A； (3)【拓展延伸】已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以，为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． (1)【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； (2)【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 基础达标 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 二、填空题 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 7．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 三、解答题 9．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． … 0 … … … 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 11．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 12．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 3．（25-26九年级上·河南开封·期末）y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于． 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 三、解答题 5．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式，并直接写出点B的坐标． (2)如果点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点为轴的“亲密点”，求“亲密点”的纵坐标的取值范围． (3)将抛物线，沿直线向右下方平移，得到抛物线，当抛物线经过点B时，直接写出抛物线的顶点坐标． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 复习要点 1. 理解二次函数的概念及一般形式 `y=ax²+bx+c（a≠0）`，能准确区分二次函数与一次函数、反比例函数，并识别各项系数。 2. 掌握二次函数三种解析式（一般式、顶点式、交点式）的特点，能根据条件灵活选择设式求解析式。 3. 理解二次函数 `y=a(x-h)²+k` 的图象与性质，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值，能区分a、h、k对图象的影响。 4. 掌握二次函数图象的平移规律（左加右减、上加下减），理解图象平移的本质是顶点位置的移动。 5. 理解二次函数与一元二次方程的联系，能利用判别式 `Δ` 判断抛物线与x轴的交点情况，并运用二次函数解决实际问题（如最值问题）。 复习重难点 重点：二次函数的图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性），以及用待定系数法求解析式。 难点：灵活运用数形结合思想解决综合问题（如含参函数、图象与方程不等式结合），以及从实际问题中建立二次函数模型并求最值。 知识点 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 要点速测 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 知识点 二次函数的图象及性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小； 当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大； 当x>–时，y随x的增大而减小 要点速测 3．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 知识点 二次函数的平移 二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 要点速测 5．（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 知识点 二次函数与一元二次方程的关系 1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 要点速测 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 知识点 用二次函数的性质解决实际问题 1．利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 2．二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的。 要点速测 7．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 题型1 二次函数的定义 ▌例1 （25-26九年级上·安徽宣城·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 解题要点 1. 严格判定标准：函数必须是整式，只含一个自变量，自变量最高次数为2。关键条件是二次项系数a≠0，这是判断与含参问题的首要依据。 2. 化为标准形式：解题时需将函数式整理为y=ax²+bx+c（a≠0）的标准形式，再准确识别a、b、c的值，注意各项系数需带上前面的符号，避免遗漏或错判。 ▌迁移练1-1（25-26九年级下·全国·单元测试）若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C ▌迁移练1-2（25-26九年级上·北京·课后作业）在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． ▌迁移练1-3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 题型2 把y=ax²+bx+c化成顶点式 ▌例2 （25-26九年级上·广东清远·期末）把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 解题要点 1. 提系数配方：先提取二次项系数a（括号内二次项系数化为1），括号内加上并减去一次项系数一半的平方，即 y=a(x²+b/a·x)+c 变为 y=a[(x+b/2a)²-(b/2a)²]+c。 2. 合并常数项：展开括号，合并常数项，得到顶点式 y=a(x-h)²+k，其中 h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a。注意符号，顶点坐标为 (h,k)，且a决定开口方向与大小。 ▌迁移练2-1（25-26九年级上·湖北恩施·期末）若二次函数可以配成顶点式，则__________． 【答案】30 【分析】本题考查了二次函数的一般式和顶点式，通过比较二次函数的一般式和顶点式的系数，建立等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． ▌迁移练2-2（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. ▌迁移练2-3（24-25九年级上·山东滨州·期末）若二次函数配方后为，则h和k的值分别为______． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了将二次函数的一般形式化成顶点式，根据即可求解． 【详解】解：， ∵二次函数配方后为， ∴h和k的值分别为，， 故答案为：，． 题型3 二次函数的图象和性质 ▌例3 （25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 解题要点 1. 抓住核心要素：根据解析式确定开口方向（a）、对称轴（x=-b/2a）、顶点坐标（-b/2a, 4ac-b²/4a）。结合图象分析增减性、最值及与坐标轴交点。 2. 数形结合解题：画出草图，将代数式与图象对应。比较函数值大小时，利用对称轴判断点与轴的距离；平移问题抓住顶点变化；交点问题转化为方程求解。 ▌迁移练3-1 （25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）对二次函数的性质描述正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．当时，随的增大而减小 C．该函数图象与轴的交点位于轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在轴右侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与x轴和轴交点是解决此类题的关键.二次函数 ，决定开口方向，开口向上，开口向下；对称轴公式为 ；与轴交点为，分别判断即可． 【详解】解： A、，开口向下，此选项错误，故不符合题意； B、根据对称轴公式：，因为函数开口向下，所以在对称轴左侧()，随的增大而增大； 当时，属于对称轴左侧() ，因此随的增大而增大，此选项错误，故不符合题意； C、令，代入函数得，即与轴交点为在轴正半轴，此选项错误，故不符合题意； D、由前面计算可知，对称轴为， 因此对称轴在轴右侧，此选项正确，故符合题意． 故选：D． ▌迁移练3-2 （26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． ▌迁移练3-3 （2026·内蒙古通辽·三模）二次函数的与的部分对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 2 4 2 … 则下列判断正确的是（     ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴 C．当时，随的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】先利用表格中的已知点求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断选项. 【详解】解：把，，代入，得， 解得， 二次函数解析式为； ， 抛物线开口向下，A错误； 当时，， 抛物线与轴交于正半轴，B错误； 对称轴为， ， 当时，随的增大而减小，C错误； 当时，，符合，D正确. 题型4 画y=ax²+bx+c的图象 ▌例4 （25-26八年级下·北京·期末）已知：二次函数，y与x的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方程为 ； (4)当时，，则t的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把，分别代入，求出的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把分别代入， 得， 解得， ∴． （2）解：依题意，把代入， 得，即； 把代入， 得，即； （3）解：图略， ∴顶点坐标为，对称轴方程为． （4）解：观察（3）的函数图象： 当时，则 ∵当时，， ∴结合函数图象，得 解题要点 1. 确定关键要素并列表：先配方得顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标。以对称轴为中心，左右对称取点（如顶点两侧各取2-3个点），列表计算对应y值。 2. 描点连线标注：在坐标系中准确描出各点，用平滑曲线按自变量从小到大顺序连接成抛物线。最后标注顶点、对称轴及函数解析式，注意开口方向与对称性。 ▌迁移练4-1 （25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． ▌迁移练4-2 （25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． ▌迁移练4-3 （25-26八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为直线，且经过点． (1)当，时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系中画出抛物线； ③当时，直接写出的取值范围． (2)点，是抛物线上两点，当时，对于，总有，求的取值范围． 【答案】(1)①；②图象如图所示： ③ (2) 【分析】（1）①根据题意得出，，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出需在点B及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，对称轴， ∴， 解得； ∵过点， ∴， ∴二次函数解析式为； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当时，当时取最小值， 时， 时， 故的取值范围为； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为，，点关于对称轴的对称点为． 要使时总有， ∴需在点B及其对称点的外侧， 即， 解得， 结合， 的取值范围为． 题型5 二次函数的平移 ▌例5 （2026·上海闵行·二模）已知抛物线经过和两点，将该抛物线向右平移2个单位，那么平移后的抛物线的对称轴为_____． 【答案】直线 【分析】先根据抛物线上纵坐标相等的两点坐标求出原抛物线的对称轴，再根据抛物线平移规律得到平移后抛物线的对称轴． 【详解】∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴原抛物线的对称轴为：直线， ∵将抛物线向右平移个单位时，对称轴同步向右平移个单位， ∴平移后抛物线的对称轴为直线 ． 解题要点 1. 抓住顶点平移规律：将解析式化为顶点式 y=a(x-h)²+k，平移只改变顶点坐标 (h,k)。遵循“左加右减（对x），上加下减（对y）”，即平移后顶点为 (h±m, k±n)。 2. 转化为一般式或点式：求出平移后的顶点式后，如需一般式则展开整理。若题目已知平移前后对应点，也可利用对称轴或顶点坐标快速确定平移方式。注意a值不变。 ▌迁移练5-1 （2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为________． 【答案】（写成“”也可） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 先将原抛物线配方化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求解即可. 【详解】解：将原抛物线配方化为顶点式. ∵将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：（写成“”也可）． ▌迁移练5-2 （25-26九年级下·山西太原·开学考试）将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． ▌迁移练5-3 （25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）已知二次函数，将点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上． （1）___________； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则的取值范围是___________． 【答案】 4 【分析】（1）先求出平移后点的坐标，代入求解即可； （2）根据二次函数解析式得出图象开口向上，顶点坐标为，当时，，再根增减性对进行分类讨论，列式计算即可； 【详解】（1）点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为， 点在的图象上， ， 或（舍去）． ． （2）由题意，得， 图象开口向上，顶点坐标为， 当时，， ①当时，最大值与最小值的差为， ，不符合题意，舍去． ②当时，最大值与最小值的差为，符合题意． ③当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意． 综上，的取值范围为． 题型6 待定系数法求二次函数的表达式 ▌例6 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 解题要点 1. 据条件设恰当形式：已知任意三点设一般式 y=ax²+bx+c；已知顶点或对称轴设顶点式 y=a(x-h)²+k；已知与x轴交点设交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂)。 2. 代入解系数组方程：将已知点坐标代入所设形式，建立关于待定系数（a、b、c或a、h、k等）的方程（组），解出系数后回代，最后化为一般式或题目要求的形式。 ▌迁移练6-1 （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． ▌迁移练6-2 （25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． ▌迁移练6-3 （2026·浙江温州·三模）已知二次函数（b，c均为常数）． (1)若函数图象经过点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； (2)在（1）的条件下，点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后，恰好落在抛物线上，求m的值； (3)若函数图象上有两点，，且，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】（1）把点A代入，得出，再根据对称轴是直线得出b，进而可得出二次函数的表达式． （2）根据点坐标的平移规律得出平移后的坐标，再代入二次函数解析式，解一元二次方程即可得出m的值． （3）根据抛物线解析式得出抛物线开口向下，对称轴直线为，根据已知条件得出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 又， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：点A向右平移个单位，再向上或下平移1个单位后， 则点A的坐标变成或， 当，把代入得： ， 解得， 把代入得： ， 解得：或（舍去）， 综上：的值为或． （3）解：在二次函数中，， ∴抛物线开口向下，对称轴直线为， ∵函数图象上有两点，，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 题型7 二次函数与一元二次方程的交点问题 ▌例7 （25-26九年级上·云南昆明·期末）已知二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数图象．若新的二次函数在的范围内有最小值，求n的值． 【答案】(1)直线． (2)或 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴只有一个公共点得到，求出m的值后，将二次函数解析式化为顶点式，即可解答； （2）先表示出平移后的新抛物线的解析式为，根据二次函数在的范围内有最小值，则当或时，二次函数取得最小值，分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数（m是常数，且）的图象与x轴只有一个公共点， 故， 整理，得， 解得，， ， 舍去， 故， 故， 故抛物线的对称轴为直线； （2）解：， 将这个二次函数图象向右平移n（）个单位长度，得到新的二次函数的解析式为， 根据题意，得新的二次函数在的范围内有最小值，即， ， 的图象开口向下，且对称轴的左侧y随x的增大而增大，对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∴当或时，二次函数取得最小值． ①若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴ ②若当时，二次函数取得最小值，则， 解得， ∵， ∴； 综上所述，符合题意的n的值为或． 解题要点 1. 交点即方程根：二次函数 y=ax²+bx+c 与x轴交点的横坐标即对应方程 ax²+bx+c=0 的实数根。交点个数由判别式 Δ=b²-4ac 决定：Δ＞0⇔两个交点；Δ=0⇔一个交点（顶点在x轴上）；Δ＜0⇔无交点。 2. 函数与不等式结合：求图象在x轴上方或下方对应x范围时，转化为解不等式 ax²+bx+c＞0 或＜0，结合开口方向和图象草图，利用“大于取两边，小于取中间”快速判断。 ▌迁移练7-1 （25-26八年级下·北京·期末）抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： (1)该抛物线的对称轴为直线______； (2)关于x的方程的解为______； (3)关于x的不等式的解为______； (4)若关于x的方程在的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是______． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）根据对称点即可求解对称轴； （2）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再解一元二次方程即可； （3）先求出直线的表达式，然后得到不等式，再转化求解即可； （4）方程即，整理得，设，把问题转化为函数图象在的范围内有两个不同的交点求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为直线，即； （2）解：∵抛物线经过点，，， ∴ 解得 ∴ ∴关于x的方程即为， 解得； （3）解：∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线为 ∴不等式为 整理得， 即 ∴或 解不等式组，无解； 解不等式组，得， ∴解集为 ∴不等式的解集为； （4）解：方程即， 整理得， ∴方程在范围内有两个不相等实数根， 设， ∴， 解得； 而对称轴在范围内，符合要求， 如图： 当时，； 当时， 即 由①得 由②得 ∴， 综上：． ▌迁移练7-2 （25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． ▌迁移练7-3 （2026·北京·三模）已知二次函数（）． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）将函数表达式化为顶点式，即可求解； （2）①由函数的图象与x轴有公共点，可得，即可求解； ②由函数的图象与x轴有两个公共点，可得 或 ，再分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 题型8 利用二次函数解决实际问题 ▌例8 （25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 解题要点 1. 建模列函数式：仔细审题，找准等量关系，设自变量和因变量，将实际问题转化为二次函数解析式。注意标明自变量的实际取值范围（如时间≥0、销量为正整数等）。 2. 求最值验实际：利用配方法或顶点公式求出函数最值（最大利润、最大面积等）。关键要验证顶点横坐标是否在取值范围内，若不在，则根据增减性取区间端点值，最后作答要带单位。 ▌迁移练8-1 （25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． ▌迁移练8-2 （26-27九年级上·全国·课后作业）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． ▌迁移练8-3 （26-27九年级上·全国·单元复习）问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 难点一 二次函数图象与其他函数图象共存问题 难点1：多函数参数的协同制约 二次函数与一次函数或反比例函数共含相同参数（如系数k、m）。难点在于需同时满足各函数在坐标系中的图象特征（开口、增减、过象限），并依参数取值范围与各函数特性建立联立不等式，极易顾此失彼。 难点2：图象位置的交叉验证 在同一坐标系中判断图象共存时，交点、截距及特殊点常受多函数相互影响。难点在于以“数”验“形”，通过判别式、对称轴等条件排除矛盾图象，若未按参数分类分区间逐项验证，则易误选表面合理但实际矛盾的组合。 难点精练 1．（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 2．（2026·安徽滁州·二模）已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 3．（25-26九年级上·江苏南京·期末）若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 难点二 二次函数图象与各项系数符号问题 难点1：基本符号的判定口诀固化 学生常死记“左同右异”“上正下负”等口诀判断a、b、c，却忽视该结论的严格推导过程。难点在于理解系数符号与图象几何特征（开口、对称轴、截距）之间的充要关系，避免在复杂图象中因口诀误用导致基本符号判断失准。 难点2：代数式的符号复合判定 涉及a+b+c、a-b+c及4a+2b+c等组合式时，不能直接观察系数，需通过令x=1、-1或2等特殊点结合图象纵坐标正负来判定。难点在于构造符合题意的特殊点，并综合分析多个系数符号的复合效应。 难点精练 1．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 2．（2026·江苏徐州·二模）如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 3．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 难点三 利用二次函数的增减性求待定系数 难点1：对称轴与区间的相对位置分类 二次函数增减性以对称轴为界。题目给定单调区间时，需按对称轴在区间左侧、内部、右侧三类情形讨论。难点在于建立含参不等式组时，学生易遗漏“对称轴恰好落在区间端点”这一边界情形。 难点2：开口方向的双重制约 若二次项系数含参，其正负直接影响开口朝向，进而改变增减规律。难点在于需先判定开口方向，再结合对称轴位置反向推导待定系数范围，分类讨论中极易因符号判断错乱导致解集失误。 难点精练 1．（2026·广东佛山·三模）二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 2．（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为8，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意，可先确定，再根据离对称轴越远函数值越大，得到最大值为，进而列式求解即可． 【详解】解：二次函数，对称轴为， 又当时，随的增大而增大， 二次函数开口向上，， 又，且， 故当时，取得最大值，最大值为， ，即， 解得， 又， 则的值为． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h的取值范围，利用函数在的范围上的最大值为列方程，即可求解． 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 难点四 二次函数与几何图形的综合问题 难点1：复杂几何条件的坐标转译 图形中的“等腰”“直角”“相似”等条件需转化为点坐标间的代数关系（如距离公式、斜率乘积为-1）。难点在于辅助线添加与方程联立时，对未定动点坐标的灵活设元，易受几何直观干扰，建模方向偏差。 难点2：多解与存在性的分类检验 动态几何产生多种位置情形，对应多组方程解。难点在于利用判别式、线段长度非负及图形实际存在域进行多轮筛选，既要逐个验证解是否满足所有几何条件，又需排除重合或退化图形，分类过程极易疏忽边界条件。 难点精练 1．（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 2．（25-26九年级下·四川达州·阶段检测）综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 3．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 难点五 二次函数中的新定义型综合问题 难点1：创新规则向解析式的等价转化 新定义常构造新型函数关系（如“关联点”“倒序差”）。难点在于透过非标准表述，将其精准转化为含参的二次函数解析式或约束不等式，若转化偏离等价性，后续逻辑将全面塌陷。 难点2：新定义与原有函数性质的交叉验证 探究结论时，需将新定义规则与对称轴、判别式、最值等固有性质相结合，并以参数分类分段推证。难点在于兼顾双重规则的兼容性，逆向推理时易忽视定义域或取值范围的特殊限制，导致增解或证伪不全。 难点精练 1．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； （2）①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 2．（2026·江西赣州·模拟预测）抛物线，若满足，则称抛物线为“恒定”抛物线． (1)【定义理解】若经过原点的抛物线为“恒定”抛物线，则m的值为 ． (2)【定义运用】求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A； (3)【拓展延伸】已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以，为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)存在，抛物线解析式为或 【分析】（1）由抛物线过原点可得，再根据“恒定”抛物线的定义求m的值； （2）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点； （3）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出，；存在两种情况：①作于M，则，证明，，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可； ②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明，得出，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：由抛物线过原点， ， 又抛物线为“恒定”抛物线， ，即； （2）证明：由“恒定”抛物线， ，即， ∴抛物线，当时，， ∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点； （3）存在；理由如下： ∵“恒定”抛物线， 当时，，解得：， ∵， ∴； ∵时，， ∴顶点P的坐标为，以，为边的平行四边形，、是对边， ∴，， ∴存在两种情况：①如图1所示：作于M，则，， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵点A和点C是抛物线上的对称点， ∴，， ∴点Q的坐标为， 设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A代入得：， ∴抛物线的解析式为：，即； ②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合， ∴点C坐标为， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴点Q坐标为， 设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为， 把点C代入得：， ∴抛物线的解析式为：； 综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线， 使得以，为边的四边形是平行四边形， 抛物线的解析式为：，或． 3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）【定义与性质】 记二次函数的图象为抛物线，其顶点为． 定义：若存在另一条抛物线，其解析式为，且顶点在抛物线上，则称抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． (1)【理解与运用】：已知抛物线，若抛物线是抛物线的“镜像抛物线”，求的值； (2)【思考与探究】：设抛物线（为任意实数），抛物线，且抛物线是抛物线的“镜像抛物线”． ①若抛物线与轴交于，两点，且满足，求的值； ②设是“镜像抛物线”的顶点，是抛物线的顶点，当点在点的右侧，且时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；②． 【分析】（1）将抛物线的顶点代入抛物线的解析式即可求解； （2）①令抛物线的解析式为结合条件即可得到的值；②用配方法求出“镜像抛物线”的顶点的表达式，将其代入抛物线的解析式可得抛物线，故，当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点，利用可得，设直线的解析式为，将代入，得直线的解析式为，把代入得，解方程后可得到点的横坐标，即，结合且点在点的右侧即可得到的取值范围． 【详解】（1）根据题意可得，抛物线的顶点在抛物线上， 将点代入，得； （2）①在中，令，得， 解得， ， ，， ， ， ， 解得或， ②， 抛物线的顶点为， 抛物线是抛物线的“镜像抛物线”， 点在抛物线上， ，且此式对任意均成立， ，， 抛物线， 为抛物线的顶点， ， 当时，过点作，交的延长线于点，作轴于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，点的纵坐标为， ， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去） 点的横坐标为， ， ， ，且点在点的右侧， ． 基础达标 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 3．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 4．（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）二次函数中的，的部分对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 7 0 0 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴的交点坐标为和 【答案】B 【分析】由表中数据，运用待定系数法求出二次函数表达式，结合二次函数图象与性质分析各个选项即可． 【详解】解：抛物线过和， 设抛物线表达式为， 抛物线过， ，解得， 即抛物线表达式为， 由，可知抛物线开口向上，A错误；由顶点式可知抛物线顶点坐标为，B正确；由抛物线开口向上、对称轴为，可知当时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，C错误；由表中数据可知，抛物线与轴的交点坐标为和，D错误． 【点睛】此类问题，无论题目如何要求，只要能有条件求出二次函数表达式，先求出表达式再求解是最优方法． 二、填空题 5．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，根据市场调查，当销售单价为22元时，每周的销售量为36本，售价每提高1元，每周的销售量就减少2本． (1)请求出该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间的函数关系式； (2)物价部门规定，每本纪念册的售价不高于28元．设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，将该纪念册的销售单价x定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元 【分析】（1）根据“单价每涨1元，销量少2本”,用基础销量减去涨价减少的销量，列出一次函数； （2）单本利润=售价进价，总利润单本利润销量，得到二次函数；二次函数开口向下，对称轴左侧随增大而增大，结合售价上限，取时利润最大． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：． （2）解：， ，开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ， ∴当时，W最大， 此时（元）， 答：当销售单价为28元时，利润最大，最大利润为192元． 11．（25-26八年级下·浙江金华·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 12．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】C 【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 若对称轴在区间左侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而增大， ∴最小值在处，代入得，此情况不成立； 若对称轴在区间内，即，得， ∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得： ， 令，得，整理得，解得， ∵， ∴，符合条件； 若对称轴在区间右侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而减小， ∴最小值在处，代入得，解得， ∵，不符合的前提，故舍去． 综上，只有符合条件，因此选C． 2．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题 3．（25-26九年级上·河南开封·期末）y是关于x的二次函数，下列结论正确的是______．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为； ②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于． 【答案】②③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题．将时的函数关系式变形为顶点式，可判断①；当时，该函数关系式可变形为，可得当时，y的值与m无关，求出的根，求出对应的y值，即可得定点坐标，可判断②；③当时，求出该函数图象与x轴的交点的横坐标，可判断③． 【详解】解：①当时，， ∴顶点坐标为，故①错误． ②当时，， 当时，y的值与m无关， 此时，， 当时，； 当时，， ∴函数图象总经过两个定点，，故②正确； ③当时，由得：， ， ∴． ∴，． ∴， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确． 故答案为：②③ 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为___________； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）由二次函数开口向下，对称轴为直线，在上，最小值出现在处，代入求值解方程； （2）由条件可知抛物线开口向下，点离对称轴更近，根据当时与时两点关于对称轴对称，结合二次函数性质求的范围即可． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， 由于图象开口向下，在时， 当函数在处取得最小值，， 由题意，解得； 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为直线，且当时，均满足， ∴抛物线开口向下，点离对称轴更近， ∵当时与时两点关于对称轴对称， 且， 解得， 故答案为：． 三、解答题 5．（2026·河南郑州·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式，并直接写出点B的坐标． (2)如果点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2，那么我们称点为轴的“亲密点”，求“亲密点”的纵坐标的取值范围． (3)将抛物线，沿直线向右下方平移，得到抛物线，当抛物线经过点B时，直接写出抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为， (2) (3)抛物线的顶点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的表达式，令，求出的值，即可得出点的坐标； （2）当点到轴的距离等于时，或，分别求出当和当时，的值，再求出二次函数的最大值，结合题意即可得出结果； （3）将抛物线的表达式化为顶点式，设抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，，则抛物线的表达式为，再利用待定系数法求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：当点到轴的距离等于时，或， 当时，， 当时，， ∵函数的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，二次函数取得最大值为， ∵点在抛物线上，且到轴的距离小于或等于2， ∴； （3）解：， ∵将抛物线，沿直线向右下方平移，得到抛物线， ∴设抛物线向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，， ∴抛物线的表达式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标； （2）将点的坐标代入即可求解； （3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围． 【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米， 则得， 解得：， ∴ 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点， 则水平距离为：（千米） 则点的横坐标为：， 则点； （2）解：∵抛物线经过点, 则将点代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）解：由题可知点, 由（2）可知抛物线的顶点坐标为：, 则平移后得顶点坐标为， 点平移后的坐标为： 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点的上方， 将点的坐标代入可得， 解得： 则的最大值为：． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上的一动点，连接．抛物线的对称轴为直线，点为轴上的动点，于点．当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为抛物线与轴的左侧交点，点为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过点P作轴于点F，交直线于点E，先求出直线的解析式，设点P的坐标，则可表示点E的坐标，进而表示出线段，利用，最后求出其取最大值时点P的坐标；因，则，当最小时，最小，此时轴，根据点P的坐标求得的最小值； （3）根据A、C两点的坐标得，由条件得，求出平移后的抛物线解析式及此抛物线与x轴的交点坐标，此时有两种情况：或直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 即， ∴抛物线解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点F，交直线于点E， 设直线的解析式为， 把A、C两点的坐标分别代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则可表示点E的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵ ， 当取得最大值时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，从而取得最大值， ∴， ∵点Q在y轴上，抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当最小时，最小，此时轴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：根据A、C两点的坐标知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，且， ∴那原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位， ∴， 令，解得， ∴，与x轴的另一个交点为点A， 当点N在上方的抛物线上时，则， 设此时的解析式为，把点M坐标代入得， 即的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 当直线与的交点恰好是以为底边的等腰三角形的顶点时，此时， 设直线与的交点为D点，如图，设， ∵， ∴， 解得， 即， 设直线的解析式为， 则有，解得， 即直线的解析式为， 令，整理得， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为， 综上，点的横坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $