专题1 看到中点，如何添加辅助线-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

培优册·云南数学 　　　　　　　　　　　　二、云南中考培优———几何模型篇 专 题 １ 看 到 中 点  如 何 添 加 辅 助 线 专题１　看到中点，如何添加辅助线（８年３考） 　　　　　　　　　　　　　　　　 典例精讲 角 度 １　遇边上中点， 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 想到三角形中位线 干 货 满 满 （１）关键点：有中点或平行＋中点 → 联想 中 位线； （２）图形分析： 情况一：点 Ｄ，Ｅ分别为 ＡＢ，ＡＣ的 中点； 【结论】ＤＥ∥ＢＣ；ＤＥ＝１２ＢＣ； △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ． 情况二：点Ｄ为ＡＢ的中点． 【结论】ＡＥ＝ＣＥ；ＤＥ＝１２ＢＣ；△ＡＤＥ∽ △ＡＢＣ． 例１　如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＢ＝２， 点 Ｄ是 ＡＣ的中点，点 Ｅ在边 ＢＣ上，且 ∠ＤＥＣ＝４５°，则ＤＥ的长为　　　　． 例１题图 【分析】有９０°角，４５°角，有中点，  作平行线即 可构造等腰直角三角形． 【答案】　槡２　 角 度 ２　遇直角三角形斜边中点，想到斜边中线 （２０２０．２２ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 干 货 满 满 （１）关键点：直角 ＋斜边中点 → 联想 直角三 角形斜边中线； （２）图形分析： Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，Ｄ为ＡＢ中点． 【结论】ＣＤ＝１２ＡＢ，即 ＣＤ＝ＤＢ＝ＡＤ； ∠Ｂ＝∠ＤＣＢ；∠Ａ＝∠ＡＣＤ． 【迁移】①遇到直角三角形，可取斜边  中点构造中线得到相等线段、相等角； ②遇到一边（如图中 ＡＢ）及经过该边 中点的线（如图中 ＣＤ），也可尝试证 明△ＡＢＣ是直角三角形． 例２　如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，Ｍ，Ｎ分别 是ＡＢ，ＡＣ的中点，延长ＢＣ至点Ｄ，使ＣＤ＝ １ ３ＢＤ，连接ＤＭ，ＤＮ，ＭＮ．若ＡＢ＝６，则ＤＮ的 长为　　　　． 例２题图 【分析】由题意得ＭＮ∥ＣＢ，ＭＮ＝１２ＣＢ，结合 ＣＤ＝１３ＢＤ，得到 ＭＮ＝ＣＤ，那么连接 ＣＭ可 将求ＤＮ转化为求ＣＭ，而ＣＭ恰是Ｒｔ△ＡＢＣ 斜边ＡＢ上的中线． 【答案】　                                                              ３　 ０１ 培优册·云南数学 专 题 １ 看 到 中 点  如 何 添 加 辅 助 线 角 度 ３　遇等腰三角形底边上的中点，想到 三线合一（２０１９．２３，２０１８．２３ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 干 货 满 满 （１）关键点：等腰 ＋底边中点 → 联想 等腰三 角形三线合一； （２）图形分析： 点Ｄ为等腰三角形 ＡＢＣ底边 ＢＣ的 中点． 连接 → ＡＤ 【结论】ＡＤ⊥ＢＣ；ＡＤ平分∠ＢＡＣ． 例３　如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ＝６， 点Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，则ＭＮ 的长为　　　　． 例３题图 【分析】有等腰三角形及底边上的中点，  即连 接  ＡＭ． 【答案】　２．４　 角 度 ４　遇过中点的垂线，想到垂直平分线 （２０１９．２３（２ 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ）） 干 货 满 满 （１）关键点：一边遇垂直 ＋这边中点 → 联想 垂直平分线性质； （２）图形分析： 在△ＡＢＣ中，ＥＤ垂直平分 ＢＣ． 连接 → ＢＥ 【结论】ＢＥ＝ＣＥ；ＤＥ平分∠ＢＥＣ； ∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ． 例 ４