专题2 二次三项式ax2+bx+c的应用-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

专题2二次三项式ax2+bx+c的应用（必考） [云南考情早知道]二次三项式ax2+bx+c的应用考查类型有： (1)“局部拆分”整体代入法降次(8年1考)；(2)分式代数式巧妙转化(8年3考)； (3)解复杂一元二次方程(8年6考).另外根与系数关系也常与二次三项式关联考查。 ⑦典例精讲 类型1“局部拆分”整体代入法降次(2021.23) 【基本要点】ar2+bx+c=0局部拆分，降次】 r(1)以低替高：ax2=-bx-c l(2)以常数项代入：ax2+bx=-c (1)局部提公因式，“以低替高” 例1若实数x满足x2-2x-1=0,则代数式x3-x2-3x+2的值为 【解析】.x2-2x-1=0,∴.x2=2x+1,.x3=x·x2=x(2x+1)=2x2+x=2(2x+1)+x= 专题 5x+2,.x3-x2-3x+2=5x+2-(2x+1)-3x+2=3. 【点拨】将最高次幂x分解为x·x,再用含x的代数式替换x己. (2)局部拆分，以常数项代入 例2若x2-2x-1=0,则3x3-13x2+11x-7的值为 次三项 【解析】.x2-2x-1=0,.x2-2x=1,.3x3-13x2+11x-7=3x3-6x2-7x2+11x-7=式 3x(x2-2x)-7x2+11x-7=3x-7x2+11x-7=-7x2+14x-7=-7(x2-2x-7=-7- 7=-14. 【点拨】先将已知等式变形为x2+bx=c(c为常数)的形式；然后将高次代数式的一部分变形 × 为x2+bx的倍数的形式；最后将x2+bx用c进行替换. 的 类型2分式代数式巧妙转化(2022.24,2021.23,2018.14) 用 【基本要点】 x2+bx+1=0 +1=-b两边同 移 +1=-b时平方x+2+ 1 除以x +=公+ 项 =62-2 例3(1)已知x2-3x+1=0,则x+1= 1 ;x2+ 1 ;x+ 【解析1：-3x+1=0,…x≠0且2+1=3x,x+ =3x+)”=x+2+2=9, 成+9-2=7(2+=++2=49+ =47. (2)已知2-3x+1=0,则x-2x+2的值为 【解折：-3x+1=0=3x-1,2-3x=-1-2x+是=x(g-2)+是=x(3x 1-2)+是=(3x-3)+是=32-3x+号=2-3x+22+是=-1+2(2+之，由1)得 x+=7心原式=-1+2×7=-1+14=13 培优册·云南数学 3 (3)若-3+1=0，则的值为 【解折1的倒数为牛=+之显然0，由(1)得+=4机，心司 类型3根与系数关系整体代入 练习1(223郭州)若实数a6分别满足d-3+2=0,-36+2=0.且a≠6，则片+方 练习2若实数a,b分别满足a2-2a=1,b2-2b=1,且a≠b,则代数式a2b+a2的值为 类型4解复杂一元二次方程(2023.24,2022.24,2020.23,2019.21,2018.20,2017.21) 【基本要点】解复杂一元二次方程的三个必备方法：公式法、配方法、因式分解法 例4细心读题【阅读理解】方法一用配方法分解因式：x2-6x-3. 解：原式=(x2-6x+9)-12=(x-3)2-12=(x-3+2√3)(x-3-23). 方法二用公式法分解因式：3x2+3x-1. 2 解：令3x2+3x-1=0,a=3,b=3,c=-1 .4=b2-4ac=32-4×3×(-1)=21>0, 六x=-b±0-4c-3.2四=-34Ik=-3。四 要 2a 6 6 6 3x+3x-1=(x--3+2I)(x--3,2I)=(x+3-2I)(x+3+). 6 6 6 6 方法三用十字相乘法分解因式：x2-2x-3. 的 解：-3×1=-3，-3+1=-2，.x2-2x-3=(x-3)(x+1). 用 依据以上方法在实数范围内分解因式： (1)x2-5x+6= (2)4a2+4a-1= (4)(2019云南21题)k2+k-6=0: ⑦强化训练 1.云南压轴题分点练一解方程： (5)(2020云南23题)n2-3n=5(n-3): (1)(2015云南23题)m2-3m-15=0: 4 (6)(2022云南24题)-x2-3x+2=0: (2)(2017云南21题) (7)(2023云南24题)(4a+2)x2+(9- m2-6m+8=0: 6a)x-4a+4=0: m2-6m+2=0: (3)(2018云南20题)-。2+号+3=0： 9 4 培优册·云南数学 2.已知m2+4mn+n2=0(m≠0，n≠0)，则代15.（优质原创)已知m2+m-1=0,则代数式 数式”+的值为 m-m 一的值为 m n m3+m-2m3-m2-m+ 3.(2023济宁)已知实数m满足m2-m-1= 0,则2