专题1 分式的取值、取整问题(2023.24-【一战成名新中考】2024云南中考数学·培优册

书 培优册·云南数学 　　　　　　　　　　　　一、云南中考培优———代数模型篇 专 题 １ 分 式 的 取 值  取 整 问 题 专题１　分式的取值、取整问题（２０２３．２４） ［云南考情早知道］２０２３年云南中考２４  题新增考查分式取整问题，因此要对数式中的复杂运算 引起足够重视． 　　　　　　　　　　　　　　　　 典例精讲 例　细心读题 獉獉獉獉 阅读材料：分离整数法就是将分 式拆分成一个整式与一个分式（分子为整 数）的和的形式．如： ①ｘ＋１ｘ－１＝ ｘ－１＋２ ｘ－１ ＝ ｘ－１ ｘ－１＋ ２ ｘ－１＝１＋ ２ ｘ－１； ②ｘ ２＋１ ｘ－３＝ ｘ２－９＋１０ ｘ－３ ＝ ｘ２－９ ｘ－３＋ １０ ｘ－３＝ｘ＋ ３＋１０ｘ－３． 已知ｘ为整数，且分式３ｘ－４ｘ－２为整数，则ｘ的 值为　　　　． 【解析】∵３ｘ－４ｘ－２＝ ３ｘ－６＋２ ｘ－２ ＝ ３（ｘ－２）＋２ ｘ－２ ＝ ３＋ ２ｘ－２，又∵ ３ｘ－４ ｘ－２的值为整数，且 ｘ为整 数，∴ｘ－２为２的约数，∴ｘ－２的值为１或 －１或２或－２，∴ｘ的值为３或１或４或０． 强化训练 １．下列关于分式的判断，正确的是 （　Ｂ　） Ａ．当ｘ＝２时，ｘ＋１ｘ－２的值为零 Ｂ．无论ｘ为何值， ３ ｘ２＋１ 的值总为正数 Ｃ．无论ｘ为何值，３ｘ＋１不可能得整数值 Ｄ．当ｘ≠３时，ｘ－３ｘ有意义 ２．若ｙ＝ ｘ１－３ｘ，则 ２ｘ－３ｘｙ－２ｙ ｙ＋ｘｙ－ｘ的值为 （　Ａ　） Ａ．－９４ Ｂ．－１ Ｃ． ７ ３ Ｄ．－ ７ ３ ３．若ｘ－２ ｘ２ 的值为负数，则 ｘ的取值范围 是　ｘ＜２且ｘ≠０　． ４．当正整数ｍ＝　　　，分式 ６ｍ＋１的值是整数 （写出一个满足条件的ｍ值即可）． ５．若ｍ为整数，则能使ｍ ２－２ｍ＋１ ｍ２－１ 的值也为整 数的ｍ有 （　Ｃ　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ６．若分式 ６ｘ＋１２ ｘ２－ｘ－６ 的值为整数，则正整数ｘ的 个数为 （　Ｂ　） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ７．若分式 －６ｘ＋１２ ｘ２＋２ｘ－８ 的值为负整数，则所有满 足条件的整数ｘ的值的和为　－６　． ８．已知 ａ为自然数，若分式 １０５ （ａ＋１）（ａ＋５）的 值是整数，则ａ＝　０或２　． ９．已知ａ为整数，且ａ＋３ａ－５－ ａ－５ ａ＋２÷ ａ２－１０ａ＋２５ ａ２－４ 为正整数，则所有符合条件的 ａ的值的和 为 （　Ｃ　） Ａ．８ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．                                                           １０ １ 培优册·云南数学 专 题 １ 分 式 的 取 值  取 整 问 题 １０．横坐标和纵坐标都是整数的点叫作整点， 函数ｙ＝６ｘ＋３２ｘ－１的图象上的整点的个数是 （　Ｂ　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ １１．若关于 ｘ的不等式组 ｘ－ｍ ２ ＞０， ｘ－４ ３ －ｘ      ＜－４ 的解 集为ｘ＞４，且整数ｍ使得关于ｘ，ｙ的二元 一次方程组 ｍｘ＋ｙ＝６， ３ｘ＋ｙ{ ＝１ 的解为整数（ｘ，ｙ 均为整数），则符合条件的所有整数 ｍ的 和是 （　Ｃ　） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．１２ １２．已知 Ａ＝ｍ＋ｎ，Ｂ＝ｍ２ －ｎ２，Ｃ＝ｍ２ － ２ｍｎ＋ｎ２． （１）若ＡＢ＝ １ ５，求Ｃ的值； （２）在（１）的条件下，若Ｂ＋ＣＢ 为正整数，求 整数ｍ的值． 解：（１）ＡＢ＝ ｍ＋ｎ ｍ２－ｎ２ ＝ ｍ＋ｎ （ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）＝ １ ｍ－ｎ ＝１５， ∴ｍ－ｎ＝５． ∵Ｃ＝ｍ２－２ｍｎ＋ｎ２＝（ｍ－ｎ）２， ∴Ｃ＝２５； （２）∵ｍ－ｎ＝５，Ｃ＝２５， ∴Ｂ＋ＣＢ ＝１＋ ２５ （ｍ＋ｎ）（ｍ－ｎ）＝１＋ ５ ｍ＋ｎ． ∵Ｂ＋ＣＢ 为正整数， ∴ｍ＋ｎ＝５或ｍ＋ｎ＝１， ∴ｍ＝５或３． １３．（优质原创）【阅读材料】将分式ｘ ２－ｘ＋３ ｘ＋１ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整 数）的和的形式． 解：由分母ｘ＋１，分组分解分子ｘ２－ｘ＋３： ｘ２－ｘ＋３＝ｘ２＋ｘ－２ｘ－２＋５＝ｘ（ｘ＋１）－ ２（ｘ＋１）＋５＝（ｘ＋１）（ｘ－２）＋５， ∴ｘ ２－ｘ＋３ ｘ＋１ ＝ （ｘ＋１）（ｘ－２）＋５ ｘ＋１ ＝ｘ－２＋ ５ ｘ＋１． 这样，分式 ｘ２－ｘ＋３ ｘ＋１ 就拆分成一个整式ｘ－ ２与一个分式 ５ｘ＋１的和的形式． （１）将分式ｘ ２＋６ｘ－３ ｘ－１ 拆分成一个整式与 一个分子为整数的分式的和的形式， 则结果为　　　　　　　　； （２）已知整数ｘ使分式２ｘ ２－５ｘ－２０ ｘ＋３ 的值为 整数，求满足条件的整数ｘ的值． 解：（１）