专项11 立体图形-小升初数学名校冲刺知识讲解与训练

小升初数学名校冲刺知识讲解与训练 专项11 立体图形 ※知识清单※ 1.长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的特征 （1）长方体和正方体的相同点和不同点 长方体有6个面，相对的面是面积相等的长方形（也可能有两个相对的面是正方形），有12条棱，相对的棱的长度相等，有8个顶点。 正方体有6个面，6个面是面积都相等的正方形，有12 条棱，棱长都相等，有8个顶点。可以看出：正方体是特殊的长方体。长、宽、高都相等的长方体叫做正方体。 （2）圆柱体 上下两个底面是等圆的直柱体。上下两个底面是面积相等的圆形，两个底面之间的距离叫做圆柱体的高。 （3）圆锥体 只有一个底面是圆形，从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 2.表面积及体积 长方体：a→长、b→宽、h→高。 长方体六个面的总面积，叫做它的表面积。 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2 用字母表示：S=2（ab+ah+bh） 物体所占空间的大小叫做物体的体积。 长方体的体积=长×宽×高，用字母表示；S=abh 正方体：a→棱长 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示：S=6a2 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示：V=a2 圆柱体：圆柱体的侧面展开是一个长方形或正方形，长方形的长等于圆柱体底面周长，宽就是它的高。因此： 圆柱体的侧面积=底面周长×高 圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2 圆柱体的体积=底面积×高 用字母表示：S侧=C×h S长=2πrh+2πr2=Ch+2πr2 V=πr2h 圆锥体：圆锥体的体积等于和它等底等高的圆柱体体积的。即： 圆锥体体积=底面积×高× 用字母表示：V=Sh 3.容积、物体的重量 容器所能容纳的物体的体积，叫做这个容器的容积。 计算容积的方法与计算体积的方法相同。但要注意：求体积时.要从物体的外部测量计算，求容积时要从容器的里面测量计算。因为要去掉容器的厚度。另外，计算体积时一般用体积单位：立方米、立方分米、立方厘米等。当计量容器中液体的体积时常需要用升和毫升作单位。 1立方厘米=1毫升1立方分米=1升 要计算长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的木料、钢材、油桶及小麦堆等物体的重量，首先要计算出物体的体积，再利用下面的公式计算。 物体的重量=单位体积的重量×体积 ※经典例题※ 例1 判断 1.圆锥的体积是圆柱体积的。（ ） 2.长方体相对的面都是正方形。（ ） 3.相对棱的长度相等的物体就是长方体。（ ） 4.一个圆柱的底面直径是d，它的高是πd，这个圆柱的侧面展开后一定是正方形 （ ） 【解析】1.×。只有在等底面积等高的情况下，圆锥的体积才是圆柱体积的。2.×。长方体有时一组相对的面是正方形，但至少有两组相对的面是长方形。相对的面都是正方形的物体是正方体。3.×。如果物体的每个面是平行四边形、五边形，虽然也符合相对棱的长度相等，但不是长方体。长方体相对的2个面必须是长方形或正方形，并且面积相等。4.√。圆柱的侧面展开图是长方形，长为底面周长，宽为圆柱的高。题中圆柱的底面直径是d，则底面周长为πd；同时圆柱的高也是πd， 那么这个圆柱的侧面展开后是正方形。 【解答】1.× 2.× 3.× 4.√ 例2 有一间房间，长4.8米，宽4米，高3.2米，要粉刷房间的四周墙壁和房顶，除去门窗的面积12平方米，要粉刷的面积是多少平方米？ 【解析】粉刷面积求的是实际面积，不包括地面面积。因此只要求出房间五个面的面积，再去掉门窗面积，就可以求出粉刷面积。 4.8×4+（4.8×3.2+4×3.2）×2-12 =19.2+56.32-12 =63.52（平方米） 【解答】要粉刷的面积是63.52平方米。 例3 把一块长40厘米，宽30厘米的长方形铁皮从四个角都剪去边长为5厘米的正方形，再焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容积是多少？ 【解析】根据题意我们可以画出下图： 从图中可以看出，焊接后的长方形铁盒的长是40-5-5=30（厘米），宽是30-5-5=20（厘米），高是5厘米。所以铁盒的容积是30×20×5=3000（立方厘米）。 【解答】这个铁盒的容积是3000立方厘米。 例4 一个圆柱形的油桶，底面直径是6分米，高是10分米，它的容积是多少？做100个这样的油桶要用铁皮多少平方米？ 【解析】题中给出的条件很充分，计算时要按步骤代入公式。1.油桶容积：V=πr2h=3.14×（6÷2）2×10=282.6（立方分米）2.需要铁皮的面积：底面积：S底=πr2=3.14×（6÷2）=28.26（平方分米）侧面积：S侧=πdh=3.14×6×10=188.4（平方分米）表面积：S表=S侧+S底×2=188.4+28.26×2=244.92（平方分米）100