专项8 比和比例-小升初数学名校冲刺知识讲解与训练

小升初数学名校冲刺知识讲解与训练 专项8 比和比例 ※知识清单※ 1.比的意义和性质 两个数相除又叫两个数的比。 比的前项和后项都乘以或除以同一个数（零除外），比值不变。 2.比例的意义和性质 比例的意义：表示两个比相等的式子，叫比例。 比的基本性质：两个外项的积，等于两个内项的积。 3.求比值和化简比 求比值：根据比值的意义，用前项除以后项，结果可以是整数、小数或分数。 化简比：根据比的基本性质，使比成为前后项都是整数，且互质的比。 4.正、反比例的判断 （1）看变量，分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。 （2）找定量，分析这两种相关联的量，看它们之间是商一定，还是积一定，或者积、商都不一定。 （3）再判断：如果商一定，这两种量就成正比例关系：=k（一定）。 如果积一定，这两种量就成反比例关系：x×y=k（一定） 如果积、商都不一定，就不成比例。 5.比例尺 图上距离与实际距离的比，通常把比例尺写成前项是1的比。 ※经典例题※ 例1 某人走12千米路程，他行走的速度与所用时间的关系如下表： 速度（千米/时） 1 2 3 4 5 6 时间（时） 12 6 4 3 2.4 2 1.根据上表数据，在下图中找出各点，并顺次连接各点。 2.如果以1.5千米/时的速度行进，大约需用（ ）时才能走完。 3.如果想用3时走完，速度应达到（ ）千米/时。 4.从图中，你发现了什么？ 【解析】本题主要涉及正、反比例方面的知识，也渗透了一定的函数思想、数形结合的思想。对学生的作图能力、分析判断能力、归纳总结能力进行比较全面的考查。 1.画图时，首先要明确横轴、纵轴表示的意义，及单位长所表示的量。找出各点顺次连接起来。如图： 2.找出1.5千米/时在纵轴上对应的点，可知：大约需8时才能走完。 3.找出3时在横轴上对应的点，可知：速度应达4千米/时。 4.由图上，我们可以发现：速度越大，所需时间越少；速度越小，所需时间越多；对应的速度和时间的积相等；速度和时间是成反比例的量。 【解答】1.如图： 2.8 3.4 4.我们可以发现：速度越大，所需时间越少；速度越小，所需时间越多；对应的速度和时间的积相等；速度和时间是成反比例的量。 例2 甲数的等于乙数的，甲、乙数的比是（ ）：（ ）。 【解析】本题主要考查学生在学习了“比和比例”这部分知识后，能否灵活运用所学习的知识，解决有关问题。本题的解答过程及方法都是开放性的，我们要注意知识之间的联系，灵活巧妙地解答。 【解答】解法1：根据题意可列出关系式：甲×=乙×。联系比例的基本性质，我们只要把甲和同时放在两个外项的位置上，把乙和同时放在两个内项的位置上，且把甲、乙放在比例的同一侧，两个数放在另一侧，进行化简即可求得： 甲：乙=：=×=16：15 解法2：本题也可用假设法解。设甲是16，则16×=乙×，求出乙是15。 则甲：乙=16：15。 解法3：由等式甲×=乙×，可推导出甲=乙××=乙×，即 甲数是乙数的。可得：甲：乙=16：15。 解法4：由题意知：甲数的3份和乙数的4份相等。为了便于比较，让相等部分的份数也相等。3和4的最小公倍数是12，原题可转化为甲的等于乙数的。说明甲有16份，乙有15，那么甲：乙=16：15。 例3 甲、乙两个长方形的周长相等，甲长方形的长和宽的比是3：2，乙长方形的长和宽的比是7：5，那么甲、乙两个长方形的面积之比是多少？ 【解析】本题灵活性强，无现成模式可套用，主要考查学生学习了比和比例后能否运用所学知识解决有一定思维难度的实际问题。解答的突破口是把长方形的周长具体化。两个长方形周长相等，甲、乙份数不等，甲有3+2=5份，乙有5+7=12份，若使它们的周长数等于份数的最小公倍数，可分别求得两长方形的长和宽，进一步求出面积，再求比。这样解答变抽象为具体，化难为易，需要对比的本质有深刻的理解，使思维活动进入高层次。这也是解答有关比的问题的一个好方法。 【解答】解：甲的份数：3+2=5，乙的份数：7+5=12，5和12的最小公倍数等于60，假设每个长方形的周长等于60。 甲：长：60×=36 宽：60-36=24 面积：36×24=864 乙：长：60×=35 宽：60-35=25 面积35×25=875 则甲、乙两个长方形的面积比为：864：875。 ※强化训练※ 一、填空题。 1.某车间有男职工32人，女职工18人。 ①男职工人数与女职工人数的比是（ ）比（ ）； ②女职工人数与男职工人数的比是（ ）比（ ）； ③男职工人数和全车间人数的比是（ ）比（ ），记作（ ）：（ ）； ④女职工人数和全车间人数的比是（ ）比（ ），记作