第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 拓展一：数学建模 建立统计模型进行预测（非线性回归模型） 题型01指数型与对数型拟合 【典例1】（2024上·全国·高三专题练习）为迎接年北京冬奥会，践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高. (1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数与月份之间的经验回归方程（系数和的最终结果精确到），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至人以下？ 月份 体重超标人数 (2)在某次足球训练课上，球首先由队员控制，此后足球仅在、、三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示： 控球队员 接球队员 概率 若传球次，记队员控球次数为，求的分布列及均值. 附：经验回归方程：中，，； 参考数据：，，，. 【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下： 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 6 12 25 49 95 190 (1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图，并由散点图判断（a，b为常数）与（，为常数，且，）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)对于非线性回归方程（，为常数，且，），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值． 3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09 ①证明：“对于非线性回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即，β，α为常数）”； ②根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【典例3】（2024·全国·高三专题练习）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.    73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程； (2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，， 【典例4】（2024上·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价（单位：元）和上座率（上座人数与总座位数的比值）的数据，其中，并根据统计数据得到如下的散点图： (1)由散点图判断与哪个模型能更好地对与的关系进行拟合（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程； (2)根据（1）所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多． 参考数据：，，；设，则，，；，，． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长. 已知某地区2014年底到2021年底新能源汽车保有量的数据统计表如下： 年份（年） 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 保有量y/千辆 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 参考数据：，，其中 (1)根据统计表中的数据画出散点图（如图），请判断与哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程（给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程： (2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型