贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高二下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题

北京师范大学贵阳附属中学 第一届“ π ”杯数学竞赛（高二年级） 一、 填空题（本题共 8小题，每题 8分，共 64分） 1.设集合  2 1xM x  ，  2log 1N x x  ，则M N  __________. 2.设 a,b 为单位向量，且 3� − 4� = 4� + 3� ，则 a·b =_________. 3.设球在圆柱内，且圆柱的底面直径和高都等于该球的直径，则球与圆柱的体积之比是 _______. 4.在△ABC中， 4 B  ,BC边上的高等于 1 3 BC，则 cos A  _______. 5.过坐标原点O且与曲线 exy  相切的直线方程为______________. 6.已知 cos( ) cos cos      ，则 cos 的最大值为__________. 7.已知数列{ }na 为正项等比数列，且 4 3 2 1 5a a a a    ，则 5 6a a 的最小值为_____. 8. 设 ,a b 为 正 整 数 ， 且 sin18 是 函 数 3( ) 1f x ax bx   的 一 个 零 点 ， 则 (1)f  _______. 二、解答题（第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，共 36 分） 9.已知数列{ }na 满足： 1 11, 2 1n na a a   ( nN * ). (1)证明：{ 1}na  是等比数列，并求出数列{ }na 的通项公式； (2)证明： 1 2 3 1 1 1 1 2. na a a a      10.已知双曲线 2 2 2: 1( 0)4 x yE a a    的中心为原点O , 左、右焦点分别为 1 2,F F , 离心 率为 3 5 5 , 点 P是直线 2 3 ax  上任意一点, 点Q在双曲线 E上, 且满足 2PF  . 2 0QF   . (1)求实数 a的值； (2)证明：直线 PQ与直线OQ的斜率之积是定值； (3)若点 P的纵坐标为 1,过点 P作动直线 l ,与双曲线右支交于不同两点 ,M N ,在线段 MN 上取异于点 ,M N 的点H ,满足 | | | | | | | | PM MH PN HN  .证明：点H 恒在一条定直线上. 北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π“杯数学竞赛（高二年级） 参考答案 一、填空题（本题共8小题，每题8分，共64分） 1.{x0<x<2 V10 2.0 4. 10 5.y=ex 6.5-1 7.20 8.5 二、解答题（第9题16分，第10题20分，共36分） 9.(I)因为a=1,an1=2an+1(n∈N, 所以an1+1=2(a。+1), 故{an+1}是以2为首项、2为公比的等比数列. 因此，4n+1=2×2"-=2", 故an=2”-1. (2)因为当n≥2时，2-1-2=2--122-1=1>0， 所以 11 1 a。2"-12 于是 L+L+1++ a 11 <1+2+++ 2可 <2. a5且c2=a+4,解得a=V5. 10.1)由题意得9=3， 2)证明：由(1)知，直线x=3=3,3,0). 设Pr30 因为所Q5=0,所以日-背-00-)=0，得，=音6-》 又QW在E上，所以产=1，得=专化-) 54 所以 如如=子：方-6-》c-)4 所以直线PQ与直线O0的斜率之积是定值亏 (3)设H(x,y),M(x,y,N(x2,y2).则 4析-或=204据-5=20即-号-后-号-列 4 设PM-M阳=A,则 PM =APN. PN HN MH =AHN, 即c子4-》=c多4- 5 ((x-x.y-y)=A(x-x2.y-y2). 整理得， x-=0-0 片-y2=1-元， ② x+1x2=x(1+2), ③ y+y2=y(1+).④ 由①×③，②×④得 -=-x,⑤ 3 -2片=1-)水.⑥ 将=行G-5片=行G-5)代入⑥， 得y=1--4回 51-12 4 将⑤代入⑦，得y=了-4 所以点H恒在定直线4x-3y-12=0上.