贵州省贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2023-2024学年高一下学期3月第一届“圆周率”杯竞赛数学试题

试卷第 1页，共 2页 北京师范大学贵阳附属中学 第一届“π”杯数学竞赛（高一年级） 一、 填空题（本题共 8 小题，每题 8 分，共 64 分） 1．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史.按照图案的载体大致分为 彝族服饰图案，彝族漆器图案，彝族银器图案等.其中蕴含着丰富的数学文化，如图 1：漆 器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的 轨迹.这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图 2所示，若OA长为 2个单位，则 AOB 所对 应的弧长为 ． 图 1 图 2 2．已知不等式 2 0x ax b   的解集为 (2,3)，则不等式 2 1 0bx ax   的解集为 ． 3．已知 2 3 6log log log 5a b  ，则 ab  ． 4．在数学文化节活动中，被称为“数学小王子”的小明同学参加了“智取九宫格”游戏比赛， 活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使 每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3个数之和分别相等，且均为 m．小明同学抽取 到的题目如图所示，他运用所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m  ． 16 7 4 5．已知 1e  ， 2e  表示两个夹角为 π 3 的单位向量，O为平面上的一个固定点， P为这个平面 上任意一点，当 1 2OP xe ye     时，定义  ,x y 为点 P的斜坐标.设点Q的斜坐标为  2,1 ，则 OQ   ． 6．已知 ,a b   是夹角为120的两个单位向量，若向量 a b   在向量 a  上的投影向量为 2a  ， 则  ． 试卷第 2页，共 2页 7．魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率 约为 355 113 ，是当时世 界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知 的近似值还可以表 示成 4cos38，则 2 2 16 1 2sin 7     的值为 ． 二、解答题（第 9 题 16 分，第 10 题 20 分，共 36 分） 9． a，b  的夹角为120， | | 1a   ， | | 3b   . (1)求 | 5 |a b rr ； (2)若 a b  与 a b   互相垂直，求 . 10．设实数 0  ，函数 2 π( ) sin 3 sin sin( ) 2 f x x x x     . (1)若  f x 的最小正周期是 π 2 ，求  f x 在 π π[ , ] 8 4 上的最大值与最小值； (2)若  f x 在[0,2π]上有且仅有 2个零点，求的取值范围. 答案第 1页，共 4页 1． 4 9  【解析】根据题意 AOB 所对应的弧长为整个圆的 1 9 ，从而得到结果. 【详解】 AOB 所对应的弧长为整个圆的 1 9 ， 整个圆周长为 2 4OA   ， 故 AOB 所对应的弧长为 4 9  ， 2． ( , ) 1 1 6 【分析】根据韦达定理求出 ,a b，代入解二次不等式即可. 【详解】由不等式 2 0x ax b   的解集为 (2,3)，则 2 3 2 3 a b       ， 则 5 6 a b     ，则 2 1 0bx ax   ，即为 x x   26 5 1 0， 解得： ( , ) 1 1 6 . 故答案为： ( , ) 1 1 6 3．5 【分析】设 2 3 6log log log 5a b k   ，再用 k表达 ab求解即可. 【详解】设 2 3 6log log log 5a b k   ，则 2ka  ， 3kb  ，5 6k ， 故  2 3 2 3 6 5kk k kab       . 故答案为：5 4．39 【分析】由图，设 1x x ，由题可得 2 3 4 5 6, , , ,x x x x x 表达式即可得答案. 【详解】由图，设 1x x ，则由第一列， 20m x  . 由第二排，有 1 3 3 37 20 7 13x x m x x x x          . 又由从左到右对角线， 3 6 6 616 20 29 9x x m x x x x          ， 高一年级第一届“ ”杯数学竞赛试题答案π 答案第 2页，共 4页 又由第三列 5 6 5 57 20 7 9 22x x m x x x x 