专题2-2 相交线与平行线5类常考模型-2023-2024学年七年级数学下册模型·方法·技巧专题突破（北师大版）

专题2-2 相交线与平行线5类常考模型 模型梳理 1 题型一 猪蹄模型 6 题型二 铅笔头模型 9 题型三 平行线中的翻折模型 13 题型四 锯齿模型（猪蹄模型进阶版） 16 题型五 其它模型 18 模型梳理 1、猪蹄模型 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF，∴∠E＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D．∴∠E＝∠B＋∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD，∴∠D＋∠BFD＝∠BED，∴∠B＋∠D＝∠E． 2、锯齿模型：顶点在同一侧的角之和等于顶点在另一侧的角之和 （1）已知AB∥DE 性质： （2）已知a∥b 性质：所有奇数角和等于所有偶数角的和 3、铅笔头模型 （一）基本模型 A B C D O 已知：AB∥CD，O是平行线间一点，连接OB，OD． 结论：∠B＋∠BOD＋∠D＝360°． （已知角关系，平行也成立） A B C D O 通过作延长可知，实线部分为铅笔头模型，虚线部分为猪蹄模型，两个模型相互依存，同学们在使用过程中，可根据题目条件灵活选择合适的模型进行计算． （二）结论推导 结论：∠B＋∠BOD＋∠D＝360°．A B C D O 1 2 E 证明：过点O作OE∥AB． ∵AB∥CD，∴OE∥CD，∴∠B＋∠1＝180°，∠2＋∠D＝180°， ∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°，∴∠B＋∠BOD＋∠D＝360°． （三）解题技巧 两条平行线的一端有两条凸出来的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系． （四）总结与拓展 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B＋∠C＋∠E ＝ 360° 遇拐点做平行线（不唯一） AB∥DE ∠B＋∠M＋∠N＋∠E＝ 540° a∥b ∠A1＋∠A2＋．．．＋∠An－1＋∠An＝180°×（n－1） 4、其它模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥CE ∠D=∠B+∠E 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥CE ∠1+∠2-∠3=180° AB∥DE ∠1=∠2+∠3 AB∥DE ∠1+∠3-∠2=180° 题型一 猪蹄模型 （一）基本模型 A C B D O 已知：AB∥CD，O是平行线间一点，连接OB，OD． 结论：∠BOD＝∠B＋∠D． （已知角关系，平行也成立） （二）结论推导 结论：∠BOD＝∠B＋∠D．A C B D 1 2 E O 证明：过点O作OE∥AB． ∵AB∥CD，∴OE∥CD，∴∠B＝∠1，∠D＝∠2． ∵∠BOD＝∠1＋∠2，∴∠BOD＝∠B＋∠D． （三）解题技巧 两条平行线的一端有两条凹进去的线段并交于一点，可以过这一点作两条平行线的平行线，利用平行线的性质可得角度之间的数量关系． 【例题讲解】 1． 如图，直线，，则 ． 2． （2023七年级下·江西吉安·期中）求解下列各题 (1)如图（1），，点在外部，若，则____ (2)如图（2），，点在内部，则之间有何数量关系？证明你的结论； (3)在图（2）中，将直线绕点按逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图（3），若，求的度数．    3． 如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点． (1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系； (3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小． 【巩固练习】 4． 下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，． 求证： 方法一 证明：如图，过点E作 方法二 证明：如图，延长，交于点F． 5． 如图，直线，为直线、之间一个点，，，则　　． 6． 如图，，的平分线与的平分线交于点，则　　． 7． 如图，，，平分，，则的度数为 　　． 8． 已知：如图，、分别为两平行线、上两点，点位于两平行线之间，试探究：与和之间有何关系？并说明理由． 9． 如图，，点，为直线，上两定点，． (1)如图1，当点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，； ①如图2，点在左侧时，求的角度； ②如图3，点在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则＝